Inequality

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che e\':
 (x6-x3+3)(y6-y3+3)(z6-z3+3)>=(x+y+z)3
 dove x,y,z sono reali non inferiori ad 1.
 <IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/moto.jpg"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 16-08-2004 17:04 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sostituzione x=1+k y=1+h z=1+m per assicurarsi che le variabili siano positive, si moltiplica tutto, schur e bunching!!!!!
 
 W LA BRUTE FORCE!!!
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 ok, ora potete cercare una soluzione un po\' + elegante

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Sono d\'accordo con te sulla \"brute force\" ,pur di non esagerare.
 Non ho capito la tua posizione dal momento che ,per ipotesi,x
 y e z sono dichiarate >=1.Forse e\' una posizione necessaria per
 far quadrare i calcoli durante la brute force?
 La mia soluzione e\' basata sul teorema di Bernoulli e sulla media delle potenze.
 Ciao.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

La mia soluzione.
 Poniamo P=(x^6-x^3+3)(y^6-y^3+3)(z^6-z^3+3).
 Si ha:
 x^6-x^3+3=(x^3-1)^2+(x^3+2)>=(x^3+2)=3[(x^3-1)/3+1]
 ed analogamente per y e z.
 Dunque:
 P>=27[(x^3-1)/3+1][(y^3-1)/3+1][(z^3-1)/3+1]
 e per il teorema di Bernoulli:
 P>=27[1+(x^3-1+y^3-1+z^3-1)/3] cioe\':
 P>=27[(x^3+y^3+z^3)/3] e per la media delle potenze:
 P>=27[(x+y+z)/3]^3=(x+y+z)^3
 come dovevasi dimostrare.

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

uguale sputata a quella proposta su Mathlinks <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Il quesito e\' una mia personale rielaborazione
 e se il procedimento coincide con altri non ci
 posso far niente.La matematica non cambia da un sito
 ad un altro.
 E\' una cosa che tu dovresti conoscere bene, visto che hai
 postato un esercizio (quello sulle ultime due cifre di (2003)^[(2002)^2001]
 o una cosa del genere) che si trova \"uguale sputato \" su di una IMO.
 Dalle mie parti si dice:\"..e nun ce vonno sta\".
 Ti saluto (malgrado tutto).

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Karl!
 Mazza se sei permaloso! La mia voleva essere solo una constatazione e non un modo per accusare o denigrare il tuo lavoro!
 Se così ti è sembrato, me ne scuso, ma credimi, non era quello che volevo dire.
 
 Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Va bene:mi sono lasciato un po\' andare.
 Forse perchè le vacanze stanno per finire!
 Mi scuso.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 17-08-2004 22:26 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Propongo questa:
 
 Siano a1,a2,...an reali positivi dimostrare che:
 
 a1^2/a2+a2^2/a3+...+(a(n-1))^2/an+(an)^2/a1>=a1+a2+...+an
 
 Facilina ma a parer mio molto bella
 
 Ciao

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 
 Non ho capito la tua posizione dal momento che ,per ipotesi,x
 y e z sono dichiarate >=1.Forse e\' una posizione necessaria per
 far quadrare i calcoli durante la brute force?
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 penso che sia meglio fare quella sostituzione, perchè quel vincolo sulle incognite non mi piace <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 di solito si smontano con il bunching le disuguaglianze valide per reali positivi
 
 cmq stavo scherzando <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> non ho fatto i conti, e non so neanche se venga brutalmente, perchè in effetti la disuguaglianza non è omogenea...
 
 simmetrica lo è, però, quindi magari saltano fuori dei termini con lo stesso grado che si possono confrontare...
 
 meglio la tua soluzione, comunque <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-17 16:10, andrea84 wrote:
 Propongo questa:
 
 Siano a1,a2,...an reali positivi dimostrare che:
 
 a1^2/a2+a2^2/a3+...+(a(n-1))^2/an+(an)^2/a1>=a1+a2+...+an
 
 Facilina ma a parer mio molto bella
 
 Ciao
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 riarrangiamento?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Chauchy! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

più bello con il riarrangiamento <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">