Ancora numeri...

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Si dimostri che per ogni n esiste un numero di n cifre, tutte diapari, divisibile per 5^n. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-03 23:41, Novecento wrote:
 Si dimostri che per ogni n esiste un numero di n cifre, tutte diapari, divisibile per 5^n. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Dunque... procediamo per induzione...
 
 Caso base:
 n=1; il numero cercato è semplicemente 5.
 
 Passo induttivo:
 Supponiamo che esista un numero X di n cifre, tutte dispari, divisibile per 5n e dimostriamo che esiste anche un numero Y di n+1 cifre, dispari, divisibile per 5n+1.
 Cerchiamo di creare Y in modo che le sue n cifre finali siano le stesse di X; si ha così Y=X+z*5n*2n (chiamiamo z la cifra di Y in posizione n+1-esima), ossia, poichè X è divisibile per 5n, Y=w*5n+z*5n*2n (abbiamo posto X=w*5n), da cui Y=5n*(w+z*2n). A questo punto ci basta trovare un numero dispari z < 10, tale che w+z*2n = 0 (mod 5); ma i numeri dispari < 10 coprono tutte le classi di resto mod 5, dunque è come se ci stessimo muovendo nel campo degli interi mod 5, in cui quell\'equazione ha sempre soluzione in z (proprio perchè è un campo: -w/2n ; 2n non è mai congruo a 0 mod 5), da cui la tesi.
 
 Ciao!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: gip il 04-08-2004 12:07 ]

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Eh, sì...eccone un altro:
 
 Dimostrare che non esistono numeri primi nella seguente sequenza:
 
 10001, 100010001, 1000100010001, ...

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Ve ne lascio ancora uno, leggero e veloce, giusto per rilassarsi...
 
 Dimostrare che ogni primo, tranne 2 e 5, divide infiniti numeri della forma
 
 11, 111, 1111, ...
 
 Ciao

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-04 21:51, Novecento wrote:
 Ve ne lascio ancora uno, leggero e veloce, giusto per rilassarsi...
 
 Dimostrare che ogni primo, tranne 2 e 5, divide infiniti numeri della forma
 
 11, 111, 1111, ...
 
 Ciao
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Prendiamo il generico primo p e consideriamo p numeri distinti del tipo suddetto: o ce n\'è almeno uno congruo a 0 (mod p), che sarà diviso da p, oppure ve ne sono due appartenenti alla stessa classe di congruenza, e in tal caso la loro differenza, nella forma 11....1100....00, sarà congrua a 0 (mod p), per cui anche il numero formato dalle sue prime cifre \'1\' lo sarà, e dunque sarà diviso da p. Per generare infiniti numeri divisi da p si possono scegliere opportunamente gli insiemi di p numeri, in modo da trovare numeri del tipo 11...11 sempre diversi (ad esempio mantenendo dieci numeri non divisibili per p e cambiando l\'undicesimo elemento...).
 
 Ciao!

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-04 20:48, Novecento wrote:
 Eh, sì...eccone un altro:
 
 Dimostrare che non esistono numeri primi nella seguente sequenza:
 
 10001, 100010001, 1000100010001, ...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Intanto dimostro che non sono primi i numeri di quel tipo aventi n cifre \'1\', con n composto. Se infatti n=a*b, con a e b diversi da 1 e da n, posso chiamare X il numero del tipo suddetto avente b cifre \'1\', e risulta che il numero di partenza si può scrivere come X + X*10b+6+X*102*(b+6) ecc.. con un totale di a addendi; si può dunque raccogliere a fattor comune X, che risulta un divisore del numero di partenza, che quindi non è primo.
 
 Esempio, giusto per chiarire:
 100010001000100010001 ha n=6 cifre \'1\' ; prendiamo X = 10001; possiamo scrivere il nostro numerone come X+X*108+X*1016 , dunque X lo divide.
 
 A qualcuno viene in mente qualcosa per il caso in cui il numero di cifre \'1\' sia primo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Ciao!
 
 Marino

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, ho provato a concludere con la tua idea, ma non ne vengo fuori, non ci ho pensato molto però...
 il mio approccio è diverso, se cerchi la formula per ogni termine lo smonti in breve tempo...
 
 bye

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao!
 
 Vediamo...
 sia n un numero del tipo in esame con k cifre, si dimostra che k==1mod(4) quindi k=4p+1 da cui n=sum(i=0...p)10^(4i) cioè n=(10^(4p+4)-1)/(10^4-1)
 Ora n=(1/(10^4-1))*(10^(2p+2)-1)*(10^(2p+2)+1) dunque se p è pari
 101|10^(2p+2)+1 e 99|10^(2p+2)-1 ( e 10^(2p+2)-1>99 e 10^(2p+2)+1 >101)mentre se p è dispari 9999|10^(2p+2)-1 e 10^(2p+2)-1>=9999 dove l\'uguale vale se e solo s p=1 ma in questo caso n=10001=73*137.
 Da cui la tesi.
 
 Ciao [ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 07-08-2004 17:48 ]

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-07 17:47, andrea84 wrote:
 
 [...]
 Da cui la tesi.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Già, bravo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 La mia cocciutaggine non ha pagato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 Ciao!
 Marino

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Posto anche la mia \"presunta\" soluzione, quasi senza congruenze.
 
 Osserviamo che tutti i numeri di tale forma sono dati dalla sommatoria:
 sum[k=0,n](104k)
 che è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione 104
 Ora, tutti i numeri con un numero pari di 1 sono multipli di 10001, che è composto, quelli con un numero dispari di 1 sono tutti dati dalla sommatoria sopra scritta e uindi si possono scrivere sotto la forma:
 1*(104n-1)/(104-1), con n dispari, che si semplifica come ((102n+1)/101)*(10n-1+10n-2+...+102+10)*(10n-1-10n-2+...+102-10)
 ora, per le congruenze si dimostra che 101 è sempre divisore di un numero della forma 102n+1 con n dispari, quindi il numero dato è composto.
 
 Ho eivitato il formalismo di dimostrare che almeno uno dei tre numeri sia diverso da uno, ma penso sia ovvio, spero di non sbgliare. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-08-2004 15:51 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 10-08-2004 15:53 ]