Trovare il più piccolo intero n tale che 3^2003 divide 2^n+1.
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teoria dei numeri
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gip
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<BR>On 2004-07-31 19:38, andrea84 wrote:
<BR>Trovare il più piccolo intero n tale che 3^2003 divide 2^n+1.
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<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Bello! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Dimostriamo per induzione che per ogni n si ha che 2<sup>(3^n)</sup> = -1 (mod 3<sup>n+1</sup> ).
<BR>
<BR>Caso base:
<BR>2<sup>3^0</sup> = -1 (mod 3<sup>1</sup>).
<BR>
<BR>Passo induttivo:
<BR>dobbiamo dimostrare che se 2<sup>3^(n-1)</sup> = -1 (mod 3<sup>n</sup>) , allora 2<sup>3^n</sup> = -1 (mod 3<sup>n+1</sup>).
<BR>
<BR>2<sup>3^(n-1)</sup> = -1 (mod 3<sup>n</sup>) corrisponde a dire 2<sup>3^(n-1)</sup>=3<sup>n</sup>-1 (mod 3<sup>n</sup>), da cui anche 2<sup>3^(n-1)</sup>=3<sup>n</sup>-1 (mod 3<sup>n+1</sup>), da cui, elevando tutto al cubo, si ha: 2<sup>3^n</sup> = (3<sup>3n</sup> - 3<sup>(2n+1)</sup> + 3<sup>(n+1)</sup> - 1) (mod 3<sup>n+1</sup>), da cui si ricava 2<sup>3^n</sup> = -1 (mod 3<sup>n+1</sup>), ossia la tesi.
<BR>
<BR>Da questo si ottiene che 3<sup>2002</sup> soddisfa l\'equaz. richiesta. Tale numero è anche il minimo poichè le soluzioni ciclano ogni phi(3<sup>2003</sup>), numero maggiore di 3<sup>2002</sup>.
<BR>
<BR>Ciao!!
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gip il 02-08-2004 01:22 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gip il 02-08-2004 01:33 ]
<BR>On 2004-07-31 19:38, andrea84 wrote:
<BR>Trovare il più piccolo intero n tale che 3^2003 divide 2^n+1.
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<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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<BR>Dimostriamo per induzione che per ogni n si ha che 2<sup>(3^n)</sup> = -1 (mod 3<sup>n+1</sup> ).
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<BR>Caso base:
<BR>2<sup>3^0</sup> = -1 (mod 3<sup>1</sup>).
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<BR>Passo induttivo:
<BR>dobbiamo dimostrare che se 2<sup>3^(n-1)</sup> = -1 (mod 3<sup>n</sup>) , allora 2<sup>3^n</sup> = -1 (mod 3<sup>n+1</sup>).
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<BR>2<sup>3^(n-1)</sup> = -1 (mod 3<sup>n</sup>) corrisponde a dire 2<sup>3^(n-1)</sup>=3<sup>n</sup>-1 (mod 3<sup>n</sup>), da cui anche 2<sup>3^(n-1)</sup>=3<sup>n</sup>-1 (mod 3<sup>n+1</sup>), da cui, elevando tutto al cubo, si ha: 2<sup>3^n</sup> = (3<sup>3n</sup> - 3<sup>(2n+1)</sup> + 3<sup>(n+1)</sup> - 1) (mod 3<sup>n+1</sup>), da cui si ricava 2<sup>3^n</sup> = -1 (mod 3<sup>n+1</sup>), ossia la tesi.
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<BR>Da questo si ottiene che 3<sup>2002</sup> soddisfa l\'equaz. richiesta. Tale numero è anche il minimo poichè le soluzioni ciclano ogni phi(3<sup>2003</sup>), numero maggiore di 3<sup>2002</sup>.
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<BR>Ciao!!
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gip il 02-08-2004 01:22 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: gip il 02-08-2004 01:33 ]