Problemi estivi

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

Uelà, è un po’ che non mi faccio vivo…(questo è uno dei rari momenti in cui ho accesso a internet!)
 Eccovi alcuni problemi interessanti, tanto per mantenere viva la mia presenza<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 1) un’automobile deve percorrere in senso antiorario un circuito circolare. Il suo serbatoio è inizialmente vuoto. Sulla pista è però presente l’esatta quantità di carburante necessaria al percorrimento distribuita in n parti non necessariamente uguali. Dimostrare che, comunque si dispongano gli n rifornimenti nel circuito, esiste sempre un punto dal quale l’automobile può partire e completare l’intero giro.
 
 2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
 a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
 b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
 
 3) determinare tutte le funzioni da N in N (zero compreso), tali che:
 f(m + f(n))=f(f(m)) + f(n)
 (questo non riesco a concluderlo…<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> )
 
 4)ne aggiungo uno carino:
 sia p un primo dispari. provare che:
 SUM(i2p-1) ==p(p+1)/2 mod(p2)
 
 a presto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 02-08-2004 14:46 ]

Wilddiamond · Messaggio da **Wilddiamond** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
 
 un’automobile deve percorrere in senso antiorario un circuito circolare. Il suo serbatoio è inizialmente vuoto. Sulla pista è però presente l’esatta quantità di carburante necessaria al percorrimento distribuita in n parti non necessariamente uguali. Dimostrare che, comunque si dispongano gli n rifornimenti nel circuito, esiste sempre un punto dal quale l’automobile può partire e completare l’intero giro.
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per caso ti stai preparando per l\'ammissione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Igor · Messaggio da **Igor** » 01 gen 1970, 01:33

Provo il 3, anche se la soluzione mi sembra troppo banale per essere giusta :
 Sostituisco m=n=0--> f(0)=0
 Sostituisco m=0 --> f(f(n))=f(f(0))+f(n), da cui,sostituendo f(f(0))=0,trovo
 f(f(n))=f(n),che ha come soluzione :
 f(n)=a con a appartenente ad N,che è anche l\'unica soluzione dell\'E.F.
 (Vabbe,è una che ne rappresenta infinite)

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Provo anch\'io il terzo.
 Per m=n=0--->f(0)=0
 Per m=0 ed n intero qualsiasi:
 f(f(n))=f(n) e quindi anche:f(f(m))=f(m)
 Sostituendo nel funzionale iniziale risulta:
 f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))
 Questa relazione prova che l\'operatore \"f\" e\' lineare
 e dunque (tenuto conto che f(0)=0) si ha:
 f(n)=A*n con A costante da determinare.
 Sostituendo nella relazione di partenza:
 A^2*n+A*m=A^2*m+A*n ,ovvero:
 (n-m)A^2-(n-m)A=0
 e per m ed n generici:
 A^2-A=0--->A=0,A=1
 Il funz. e\' dunque:
  f(n)=0 (banale) , f(n)=n
 Sono un po\' perplesso sulla \"linearita\' \".
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-07-2004 18:16 ]

cosma2000 · Messaggio da **cosma2000** » 01 gen 1970, 01:33

Alcune osservazioni sul primo.
 Senso antiorario ==> inutile
 circuito circolare ==> inutile
 Se le n parti fossero uguali e fossero distribuite uniformemente, la macchina riempie il serbatoio con il carburante necessario a raggiungere il prossimo distributore e così via.
 Variando le distanze tra i rifornimenti o la quantità degli stessi (è la stessa cosa) esiste sicuramente almeno un punto in cui con quel rifornimento non si raggiunge quello successivo.
 Di conseguenza ne esiste un altro che permette di \"far avaznare\" un po\' di benzina e poiché il carburante è in quantità esatta per il giro la macchina riuscirà sempre a percorrere l\'intero circuito.
 Ciao.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

2° es.
 Vedete se va bene questa.
 Per y=x risulta:
 (1) f(xf(x))=xf(x)
 Posto xf(x)=z ,distinguiamo due casi:
 1)z variabile
 Allora da (1) si ha:f(z)=z-->f(x)=x
 soluzione non accettabile perche\' non soddisfa la condizione di limite.
 2)z costante (=A)
 Allora:xf(x)=A-->f(x)=A/x
 Sostituendo nella relazione di partenza si ricava A=1 (ometto i passaggi,
 del resto facili) e dunque:
 f(x)=1/x
 soluzione accettabile.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 01:12, karl wrote:
 Provo anch\'io il terzo.
 Per m=n=0--->f(0)=0
 Per m=0 ed n intero qualsiasi:
 f(f(n))=f(n) e quindi anche:f(f(m))=f(m)
 Sostituendo nel funzionale iniziale risulta:
 f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))
 Questa relazione prova che l\'operatore \"f\" e\' lineare
 e dunque (tenuto conto che f(0)=0) si ha:
 f(n)=A*n con A costante da determinare.
 Sostituendo nella relazione di partenza:
 A^2*n+A*m=A^2*m+A*n ,ovvero:
 (n-m)A^2-(n-m)A=0
 e per m ed n generici:
 A^2-A=0--->A=0,A=1
 Il funz. e\' dunque:
  f(n)=0 (banale) , f(n)=n
 Sono un po\' perplesso sulla \"linearita\' \".
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-07-2004 18:16 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 mmm...il fatto che f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))
 non significa necessariamente che:
 f(m+n)=f(m)+f(n)
 prima bisognerrebbe provare che f è suriettiva o iniettiva, poi saprei come sbrogliarmi...ma qui mi blocco.

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 12:06, cosma2000 wrote:
 [...]
 Variando le distanze tra i rifornimenti o la quantità degli stessi (è la stessa cosa) esiste sicuramente almeno un punto in cui con quel rifornimento non si raggiunge quello successivo.
 Di conseguenza ne esiste un altro che permette di \"far avaznare\" un po\' di benzina e poiché il carburante è in quantità esatta per il giro la macchina riuscirà sempre a percorrere l\'intero circuito.
 Ciao.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 OK, ma chi ti garantisce che quell\'eccedenza di benzina, sommata al rifornimento successivo, ti permetta di proseguire ulteriormente, e cosi\' via fino alla fine del percorso? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Ciao
 Marino
 
 P.S.: la soluzione che conosco è costruttiva, ossia ti fornisce un metodo per capire da quale punto devi effettivamente partire per completare il percorso.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
 
 2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
 a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
 b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ciao biagio!
 
 dunque... x=1 -> f(f(y))=yf(1) -> f è iniettiva e suriettiva
 x=y=1 -> f(f(1))=f(1), cioè per l\'iniettività f(1)=1
 quindi f(f(y))=y
 
 sostituendo nell\'e.f. f(y) a y e utilizzando il fatto che f(f(y))=y si ricava
 
 f(xy)=f(x)f(y)
 
 che è l\'equazione di cauchy, le cui soluzioni devono essere della forma
 
 f(x)=xa con a reale qualsiasi (si ricordi che la f è da R+ a R+)
 
 sostituendo in f(f(x))=x si ricava che a2=1, dunque a=1 o a=-1
 
 ma f(x)=x non soddisfa la seconda condizione, mentre f(x)=1/x indeed la soddisfa, e dunque è l\'unica soluzione.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 20:16, talpuz wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
 
 2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
 a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
 b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ciao biagio!
 
 dunque... x=1 -> f(f(y))=yf(1) -> f è iniettiva e suriettiva
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 mmm...siamo in interi, non in R, se f(1), per esempio, è 2, f non è necessariamente suriettiva...però l\'iniettività va bene, ci penserò

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-28 18:30, Biagio wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 20:16, talpuz wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
 
 2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
 a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
 b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ciao biagio!
 
 dunque... x=1 -> f(f(y))=yf(1) -> f è iniettiva e suriettiva
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 mmm...siamo in interi, non in R, se f(1), per esempio, è 2, f non è necessariamente suriettiva...però l\'iniettività va bene, ci penserò
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 interi?? da R+ a R+ leggo io <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 e la funzione lineare f(x)=kx (con k positivo) è suriettiva in R+, basta pensare al suo grafico
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-07-2004 18:39 ]

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Molto bellina quella sugli interi, sono riuscito a sbrogliarla (anche se non e\' facillima)... hint: ha molte piu\' soluzioni di quante pensiate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 --federico

WindowListener · Messaggio da **WindowListener** » 01 gen 1970, 01:33

credo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> che con questa osservazione il più sia fatto ...... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 sappiamo che f(f(n)) = f(n) supponiamo f(1) = N ( zero compreso)
 
 allora si ricava f(1+nN) = (n+1)N .........
 
 ... se N = 2 basta definire solamente il valore di f(1) ..
 
 wl

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

La strada e\' quella, ma c\'e\' ancora da lavorarci...
 --f

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 13:39, karl wrote:
 
 1)z variabile
 Allora da (1) si ha:f(z)=z-->f(x)=x
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 questo non mi convince... si può concludere che se la funzione xf(x) assume un valore k allora f(k)=k, ma non che f(x)=x per ogni x reale positivo, no?