Problemi estivi

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Biagio
Messaggi: 535
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

Uelà, è un po’ che non mi faccio vivo…(questo è uno dei rari momenti in cui ho accesso a internet!)
<BR>Eccovi alcuni problemi interessanti, tanto per mantenere viva la mia presenza<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>1) un’automobile deve percorrere in senso antiorario un circuito circolare. Il suo serbatoio è inizialmente vuoto. Sulla pista è però presente l’esatta quantità di carburante necessaria al percorrimento distribuita in n parti non necessariamente uguali. Dimostrare che, comunque si dispongano gli n rifornimenti nel circuito, esiste sempre un punto dal quale l’automobile può partire e completare l’intero giro.
<BR>
<BR>2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
<BR>a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
<BR>b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
<BR>
<BR>3) determinare tutte le funzioni da N in N (zero compreso), tali che:
<BR>f(m + f(n))=f(f(m)) + f(n)
<BR>(questo non riesco a concluderlo…<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> )
<BR>
<BR>4)ne aggiungo uno carino:
<BR>sia p un primo dispari. provare che:
<BR>SUM(i<sup>2p-1</sup>) ==p(p+1)/2 mod(p<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>a presto<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 02-08-2004 14:46 ]

Avatar utente
Wilddiamond
Messaggi: 348
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: S.Anna - Pisa ...e Montale (PT)

Messaggio da Wilddiamond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
<BR>
<BR> un’automobile deve percorrere in senso antiorario un circuito circolare. Il suo serbatoio è inizialmente vuoto. Sulla pista è però presente l’esatta quantità di carburante necessaria al percorrimento distribuita in n parti non necessariamente uguali. Dimostrare che, comunque si dispongano gli n rifornimenti nel circuito, esiste sempre un punto dal quale l’automobile può partire e completare l’intero giro.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per caso ti stai preparando per l\'ammissione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
-- Io sono fiero del mio sognare, di questo eterno mio incespicare --

F.Guccini "Quattro stracci" 1996

Igor
Messaggi: 108
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Igor » 01 gen 1970, 01:33

Provo il 3, anche se la soluzione mi sembra troppo banale per essere giusta :
<BR>Sostituisco m=n=0--> f(0)=0
<BR>Sostituisco m=0 --> f(f(n))=f(f(0))+f(n), da cui,sostituendo f(f(0))=0,trovo
<BR>f(f(n))=f(n),che ha come soluzione :
<BR>f(n)=a con a appartenente ad N,che è anche l\'unica soluzione dell\'E.F.
<BR>(Vabbe,è una che ne rappresenta infinite)

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Provo anch\'io il terzo.
<BR>Per m=n=0--->f(0)=0
<BR>Per m=0 ed n intero qualsiasi:
<BR>f(f(n))=f(n) e quindi anche:f(f(m))=f(m)
<BR>Sostituendo nel funzionale iniziale risulta:
<BR>f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))
<BR>Questa relazione prova che l\'operatore \"f\" e\' lineare
<BR>e dunque (tenuto conto che f(0)=0) si ha:
<BR>f(n)=A*n con A costante da determinare.
<BR>Sostituendo nella relazione di partenza:
<BR>A^2*n+A*m=A^2*m+A*n ,ovvero:
<BR>(n-m)A^2-(n-m)A=0
<BR>e per m ed n generici:
<BR>A^2-A=0--->A=0,A=1
<BR>Il funz. e\' dunque:
<BR><!-- BBCode Start --><B> f(n)=0 (banale) , f(n)=n</B><!-- BBCode End -->
<BR>Sono un po\' perplesso sulla \"linearita\' \".
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-07-2004 18:16 ]

cosma2000
Messaggi: 40
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: udine

Messaggio da cosma2000 » 01 gen 1970, 01:33

Alcune osservazioni sul primo.
<BR>Senso antiorario ==> inutile
<BR>circuito circolare ==> inutile
<BR>Se le n parti fossero uguali e fossero distribuite uniformemente, la macchina riempie il serbatoio con il carburante necessario a raggiungere il prossimo distributore e così via.
<BR>Variando le distanze tra i rifornimenti o la quantità degli stessi (è la stessa cosa) esiste sicuramente almeno un punto in cui con quel rifornimento non si raggiunge quello successivo.
<BR>Di conseguenza ne esiste un altro che permette di \"far avaznare\" un po\' di benzina e poiché il carburante è in quantità esatta per il giro la macchina riuscirà sempre a percorrere l\'intero circuito.
<BR>Ciao.

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

2° es.
<BR>Vedete se va bene questa.
<BR>Per y=x risulta:
<BR>(1) f(xf(x))=xf(x)
<BR>Posto xf(x)=z ,distinguiamo due casi:
<BR>1)z variabile
<BR>Allora da (1) si ha:f(z)=z--><!-- BBCode Start --><B>f(x)=x</B><!-- BBCode End -->
<BR>soluzione non accettabile perche\' non soddisfa la condizione di limite.
<BR>2)z costante (=A)
<BR>Allora:xf(x)=A-->f(x)=A/x
<BR>Sostituendo nella relazione di partenza si ricava A=1 (ometto i passaggi,
<BR>del resto facili) e dunque:
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(x)=1/x</B><!-- BBCode End -->
<BR>soluzione accettabile.

Biagio
Messaggi: 535
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 01:12, karl wrote:
<BR>Provo anch\'io il terzo.
<BR>Per m=n=0--->f(0)=0
<BR>Per m=0 ed n intero qualsiasi:
<BR>f(f(n))=f(n) e quindi anche:f(f(m))=f(m)
<BR>Sostituendo nel funzionale iniziale risulta:
<BR>f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))
<BR>Questa relazione prova che l\'operatore \"f\" e\' lineare
<BR>e dunque (tenuto conto che f(0)=0) si ha:
<BR>f(n)=A*n con A costante da determinare.
<BR>Sostituendo nella relazione di partenza:
<BR>A^2*n+A*m=A^2*m+A*n ,ovvero:
<BR>(n-m)A^2-(n-m)A=0
<BR>e per m ed n generici:
<BR>A^2-A=0--->A=0,A=1
<BR>Il funz. e\' dunque:
<BR><!-- BBCode Start --><B> f(n)=0 (banale) , f(n)=n</B><!-- BBCode End -->
<BR>Sono un po\' perplesso sulla \"linearita\' \".
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 27-07-2004 18:16 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mmm...il fatto che f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))
<BR>non significa necessariamente che:
<BR>f(m+n)=f(m)+f(n)
<BR>prima bisognerrebbe provare che f è suriettiva o iniettiva, poi saprei come sbrogliarmi...ma qui mi blocco.

Avatar utente
gip
Messaggi: 86
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa, Scuola Superiore Sant'Anna
Contatta:

Messaggio da gip » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 12:06, cosma2000 wrote:
<BR>[...]
<BR>Variando le distanze tra i rifornimenti o la quantità degli stessi (è la stessa cosa) esiste sicuramente almeno un punto in cui con quel rifornimento non si raggiunge quello successivo.
<BR>Di conseguenza ne esiste un altro che permette di \"far avaznare\" un po\' di benzina e poiché il carburante è in quantità esatta per il giro la macchina riuscirà sempre a percorrere l\'intero circuito.
<BR>Ciao.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>OK, ma chi ti garantisce che quell\'eccedenza di benzina, sommata al rifornimento successivo, ti permetta di proseguire ulteriormente, e cosi\' via fino alla fine del percorso? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Ciao
<BR>Marino
<BR>
<BR>P.S.: la soluzione che conosco è costruttiva, ossia ti fornisce un metodo per capire da quale punto devi effettivamente partire per completare il percorso.

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
<BR>
<BR>2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
<BR>a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
<BR>b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ciao biagio!
<BR>
<BR>dunque... x=1 -> f(f(y))=yf(1) -> f è iniettiva e suriettiva
<BR>x=y=1 -> f(f(1))=f(1), cioè per l\'iniettività f(1)=1
<BR>quindi f(f(y))=y
<BR>
<BR>sostituendo nell\'e.f. f(y) a y e utilizzando il fatto che f(f(y))=y si ricava
<BR>
<BR>f(xy)=f(x)f(y)
<BR>
<BR>che è l\'equazione di cauchy, le cui soluzioni devono essere della forma
<BR>
<BR>f(x)=x<sup>a</sup> con a reale qualsiasi (si ricordi che la f è da R+ a R+)
<BR>
<BR>sostituendo in f(f(x))=x si ricava che a<sup>2</sup>=1, dunque a=1 o a=-1
<BR>
<BR>ma f(x)=x non soddisfa la seconda condizione, mentre f(x)=1/x indeed la soddisfa, e dunque è l\'unica soluzione.
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

Biagio
Messaggi: 535
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 20:16, talpuz wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
<BR>
<BR>2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
<BR>a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
<BR>b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ciao biagio!
<BR>
<BR>dunque... x=1 -> f(f(y))=yf(1) -> f è iniettiva e suriettiva
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mmm...siamo in interi, non in R, se f(1), per esempio, è 2, f non è necessariamente suriettiva...però l\'iniettività va bene, ci penserò

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-28 18:30, Biagio wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 20:16, talpuz wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 18:01, Biagio wrote:
<BR>
<BR>2) determinare tutte le funzioni da R+ in R+ tali che:
<BR>a) f(xf(y))=yf(x) per ogni x, y appartenenti a R+
<BR>b) Lim(x-->+inf)f(x)=0
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ciao biagio!
<BR>
<BR>dunque... x=1 -> f(f(y))=yf(1) -> f è iniettiva e suriettiva
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mmm...siamo in interi, non in R, se f(1), per esempio, è 2, f non è necessariamente suriettiva...però l\'iniettività va bene, ci penserò
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>interi?? da R+ a R+ leggo io <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>e la funzione lineare f(x)=kx (con k positivo) è suriettiva in R+, basta pensare al suo grafico
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-07-2004 18:39 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

fph
Site Admin
Messaggi: 3762
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Molto bellina quella sugli interi, sono riuscito a sbrogliarla (anche se non e\' facillima)... hint: ha molte piu\' soluzioni di quante pensiate <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>--federico
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

WindowListener
Messaggi: 78
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: (UNI) Trieste

Messaggio da WindowListener » 01 gen 1970, 01:33

credo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> che con questa osservazione il più sia fatto ...... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>sappiamo che f(f(n)) = f(n) supponiamo f(1) = N ( zero compreso)
<BR>
<BR>allora si ricava f(1+nN) = (n+1)N .........
<BR>
<BR>... se N = 2 basta definire solamente il valore di f(1) ..
<BR>
<BR>wl
import javax.swing.geom.*;

fph
Site Admin
Messaggi: 3762
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

La strada e\' quella, ma c\'e\' ancora da lavorarci...
<BR>--f
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 13:39, karl wrote:
<BR>
<BR>1)z variabile
<BR>Allora da (1) si ha:f(z)=z--><!-- BBCode Start --><B>f(x)=x</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>questo non mi convince... si può concludere che se la funzione xf(x) assume un valore k allora f(k)=k, ma non che f(x)=x per ogni x reale positivo, no?
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

Bloccato