Bellino

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andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao
<BR>
<BR>Vediamo se ho sbagliato i conti anche qui <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Allora trovare le ultime due cifre di 2003^M dove M=2002^2001, spero sia chiaro.
<BR>
<BR>Ciao e buon lavoro
Andrea 84 alias Brend

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

241
<BR> (con certe congruenze)
<BR>

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Oh bene!
<BR>
<BR>Non sono ancora rincoglionito del tutto allora <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
Andrea 84 alias Brend

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Per chi avesse voglia di giocare un pò con i numeri:
<BR>
<BR>Un numero ha tre cifre distinte; sommando tra loro i 5 numeri che si ottengono permutando le sue cifre si ottiene 2003.
<BR>Determinare il numero
<BR>
<BR>
<BR>Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
Andrea 84 alias Brend

JackSparrow
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Messaggio da JackSparrow » 01 gen 1970, 01:33

Il numero è 217. Infatti la somma di tutte le sue possibili permutazioni è 222(7 + 2 + 1) = 2220, che, diminuita di 217 (poichè il numero iniziale non va considerato), dà 2003.
<BR>
<BR>Ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: JackSparrow il 26-07-2004 20:31 ]

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Già! Ma chi ti dice che sia l\'unico?
<BR>Modifichiamo un pò l\'esercizio:
<BR>Trovare TUTTI i numeri di 3 cifre tali che.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
Andrea 84 alias Brend

ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

<font color=white>
<BR>
<BR>222(a+b+c)=2003+n
<BR>
<BR>9*222=1998<2003
<BR>13*222=3108>2002+999
<BR>
<BR>10<=a+b+c<=12
<BR>
<BR>se a+b+c=10 222*10=2003+n n=217 somma delle cifre 10
<BR>
<BR>se a+b+c=11 222*11=2003+n n=439 che non ha somma delle cifre 11
<BR>
<BR>se a+b+c=12 222*12=2003+n n=661 che non ha somma delle cifre 12
<BR>
<BR>unico buono per il problema 217
<BR>
<BR>sono cattivo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 27-07-2004 01:28 ]
_k_

ReKaio
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Messaggio da ReKaio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Allora trovare le ultime due cifre di 2003^M dove M=2002^2001, spero sia chiaro.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>lavoro in mod 100 per le ultime 2 cifre, quindi 2003^M==3^M
<BR>3^phi(100)=3^40==1 mod 100
<BR>per scrupolo controllo e noto che anche 3^20==1 mod 100
<BR>
<BR>mi basta studiare 2002^2001 in modulo 20, 2^2001==12 mod 20
<BR>
<BR>3^M==3^12==41 mod 100
<BR>
<BR>wow, la mia dimostrazione più brutta mai prodotta
_k_

cosma2000
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Messaggio da cosma2000 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 16:22, andrea84 wrote:
<BR>Ciao
<BR>
<BR>Vediamo se ho sbagliato i conti anche qui <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Allora trovare le ultime due cifre di 2003^M dove M=2002^2001, spero sia chiaro.
<BR>
<BR>Ciao e buon lavoro
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>C\'è uno con molto buon cuore che mi spiega passo-passo come si risolve questo esercizio???
<BR>
<BR>Grazie.
<BR>Ciao.

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

Dobbiamo calcolare 2003^2002^2001 mod 100
<BR>
<BR>cominciamo a semplificare osservando che 2003==3 (100) e che phi(100)=phi(4)phi(25)=2*20=40
<BR>
<BR>ora ci serve 2002^2001 mod40 cioè 2^2001 mod40.
<BR>Usando il teorema cinese e risolvendo separatamente
<BR>
<BR>2^2001==0 (<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>2^2001==2 (5)
<BR>
<BR>abbiamo che
<BR>2002^2001==2^2001==32 (40)
<BR>pertanto
<BR>2003^2002^2001==3^2002^2001==3^32 (100)
<BR>
<BR>di nuovo col teorema cinese
<BR>
<BR>3^32==-1^32==1 (4)
<BR>3^32==3^12==17^(-12)==17^8==(-1)^8 * 8^8==2^24==2^4==16 (25)
<BR>
<BR>e quindi la risposta tanto cercata è 41.
<BR>
<BR>NOTA:
<BR>la soluzione che ti ho presentato non è \"rifinita\" nel senso che ci sarebbero scorciatoie come l\'osservazione di kayo su 3^20 (100) e suona molto faticosa e artificiosa perché mi sono limitato a calcoli eseguibili a mente senza calcolatrici.
<BR>
<BR>Ho cercato di non introdurre passaggi che possono sembrare arbitrari, quindi prendilo più come un esempio di come vanno risolti problemi di questo tipo (molto standard) che come una soluzione a questo problema specifico.
<BR>
<BR>La teoria usata si limita al teorema di Eulero
<BR>a^phi(n)==1 (n) se a e n sono coprimi
<BR>e al teorema cinese del resto, che sono fondamentali e vanno saputi.
<BR>
<BR>Chiedi pure se qualcosa ancora non è chiaro.
<BR>
<BR>CaO
<BR>Francesco
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

cosma2000
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Messaggio da cosma2000 » 01 gen 1970, 01:33

Grazie ma.....
<BR>non ci ho capito molto.
<BR>
<BR>1. phi, mod e il teorema cinese mi sono un po\' sconosciuti: dove posso trovare qualche cosa su questi argomenti?
<BR>2. tu hai scritto che dobbiamo calcolare 2003^2002^2001 etc. etc. ma non era 2003^(2002^2001)?
<BR>
<BR>Grazie.
<BR>Ciao.

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
<BR>
<BR>Un buon posto dove studiare la teoria è
<BR>http://donut.math.toronto.edu/~naoki/nt.pdf
<BR>sono dispense abbastanza avanzate, pensate per le olimpiadi internazionali, c\'è tutto il necessario e un po\' di più.
<BR>
<BR>
<BR>Con 2003^2002^2001 intendevo 2003^(2002^2001)
<BR>
<BR>CaO
<BR>Francesco
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

JackSparrow
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Messaggio da JackSparrow » 01 gen 1970, 01:33

Per quanto rigurda il problema di trovare tutti i numeri di tre cifre tali che le 5 permutazioni di queste cifre diano somma 2003, ecco il procedimento che ho usato per arrivare al risultato (che dimostra anche che 217 è l\'unica soluzione).
<BR>
<BR>Chiamiamo x, y e z le tre cifre, nell\'ordine, che formano il numero. La somma di tutte le loro permutazioni escluso il numero di partenza è 222(x + y + z) - 100x - 10y - z = 122x + 212y + 221z = 122(x + y + z) + 9(10y + 11z). Ponendo x + y + z = m e 10x + 11z = n, si ottiene la diofantea 122m + 9n = 2003; le sue soluzioni positive sono m = 1 e n = 209 o m = 10 e n = 87. La prima coppia non dà luogo a nessun valore accettabile di x, y e z, la seconda invece dà come valori accettabili x = 2, y = 1 e z = 7. Il numero cercato è pertanto 217 ed è unico.

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