Poiche\' il piatto piange..

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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karl
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Messaggio da karl »

Qualche esercizietto per non ..arrugginire.
<BR>1)Siano R0=1,R1,R2,....,R(n-2),R(n-1) le radici dell\'equazione:
<BR><!-- BBCode Start --><B>X^n=1</B><!-- BBCode End -->
<BR>a)Calcolare l\'espressione:<!-- BBCode Start --><B>E=(R0-R1)*(R0-R2)*...*(R0-R(n-1))</B><!-- BBCode End -->
<BR>b)Calcolare l\'espressione:<!-- BBCode Start --><B>F=[R0]^p+[R1]^p +....+[R(n-1)]^p</B><!-- BBCode End -->
<BR>dove p e\' un intero positivo.
<BR>
<BR>2)Siano X1,X2,X3,.....,X(n-1),X(n) le radici dell\'equazione:
<BR><!-- BBCode Start --><B>X^n+X^(n-1)+X^(n-2)+....+X+1=0</B><!-- BBCode End -->
<BR>Calcolare l\'espressione:
<BR><!-- BBCode Start --><B>G=1/(X1-1)+1/(X2-1)+.....+1/(X(n)-1)</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>3)Siano t1 e t2 due tangenti (eventualmente parallele)alla circ.
<BR>c ,di cui siano A e B i relativi punti di contatto.
<BR>Detto P un punto dell\'arco minore AB ed H,K,L le proiezioni
<BR>(ortogonali) di esso su t1,t2 ed AB rispettivamente,calcolare
<BR>PL,sapendo che PH=sqrt(5) e PK=2sqrt(5)
<BR>
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karl
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Messaggio da karl »

Posto i risultati degli esercizi(..magari questo invogliera\'
<BR>qualcuno a risolverli)
<BR><!-- BBCode Start --><B>1°
<BR>a)E=n
<BR>b)se p e\' divisibile per n allora F=n ,altrimenti F=0
<BR>
<BR>2°
<BR>G=-n/2
<BR>
<BR>3°
<BR>PL=sqrt(10)</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-07-2004 17:09 ]
andrea84
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Messaggio da andrea84 »

Provo il primo:
<BR>
<BR>Allora consideriamo Q(x)=(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+...+1=(x-R1)*(x-R2)*...*(x-R_(n-1)).
<BR>Dunque E=Q(R0)=Q(1)=n
<BR>
<BR>
Andrea 84 alias Brend
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karl
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Messaggio da karl »

Ok!
<BR>per gli altri:qualche proprieta\' delle radici n-esime dell\'unita\'.
<BR>Per quello di geometria: una (..forse troppo) facile similitudine.
<BR>
<BR>
andrea84
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Messaggio da andrea84 »

Io arrivo a
<BR>
<BR>F=1/2*(sen(Pi*p(2n-1)/n)+sin(Pi*p/n))*1/sin(Pi*p/n)
<BR>
<BR>Sbaglio??
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 20-07-2004 16:06 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 20-07-2004 16:21 ]
Andrea 84 alias Brend
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Messaggio da karl »

Non so come sei arrivato al calcolo di F.Il risultato
<BR>e\' comunque quello che ho indicato ( controllato
<BR>piu\' volte).
<BR>Bisogna ricordare che le radici n-esime dell\'unita\'
<BR>sono date da:
<BR>e<sub>k</sub>=cos(2*Pi*k/n)+isin(2*Pi*k/n)
<BR>oppure:
<BR>e<sub>k</sub>=[cos(2*Pi/n)+isin((2*Pi/n)]<sup>k</sup>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-07-2004 16:55 ]
andrea84
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Messaggio da andrea84 »

Appunto!
<BR>
<BR>Poi ho applicato de Moivrè (si scrive così??) per calcolare (e_k)^p e dunque le formule della somma dei coseni e dei seni.
<BR>
<BR>1/2+cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)
<BR>
<BR>sbaglio?
<BR>
Andrea 84 alias Brend
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Messaggio da karl »

Ma l\' \"n\" che sta a denominatore dove e\' finito?
<BR>Comunque non serve la somma di seni ( o di coseni).<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-07-2004 17:16 ]
andrea84
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Messaggio da andrea84 »

allora ottengo:
<BR>
<BR>Sum(j=0..n-1)(cos(aj)+isin(aj))
<BR>spezzo e applico le formule.
<BR>(a=2*p*Pi/n)
<BR>
<BR>ma non torna <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
Andrea 84 alias Brend
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karl
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Messaggio da karl »

Ecco la mia soluzione.
<BR>[Pongo e=cos(2*Pi/n)+isin(2*Pi/n)]
<BR>R0^p=(e0)^p=e^(0*p)=1
<BR>R1^p=(e1)^p=e^(1*p)
<BR>R2^p=(e2)^p=e^(2*p)
<BR>...
<BR>R(n-1)=(e(n-1))^p=e^((n-1)*p)
<BR>quindi :
<BR>sum(Ri^p)=1+e^(1*p)+e^(2*p)+...+e^((n-1)*p)
<BR>Facciamo due ipotesi:
<BR>A)p divisibile per n
<BR>In questo caso e^p=cos(2*Pi*p/n)+isin(2*Pi*p/n)=1
<BR>e quindi la somma richiesta e\':
<BR>F=1+1+1+...+1 =n
<BR>B)p non divisibile per n.
<BR>In tal caso si ha:
<BR>1+e^(1*p)+e^(2*p)+...+e^((n-1)*p)=[e^(n*p)-1]/[e^(p)-1)
<BR>Ma e^(np)=[cos(2*Pi/n)+isin(2*Pi/n)]^(np)=cos(2*Pi*p)+isin(2*Pi*p)]=1
<BR>e dunque F=0.
<BR>q.d.d.
<BR>Mi scuserai ,ma credo che la strada da te seguita sia un po\' lunga
<BR>anche se con un po\' di pazienza e di attenzione nei calcoli
<BR>puo\' portare allo stesso risultato..
<BR>
JackSparrow
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Messaggio da JackSparrow »

Provo una soluzione per il secondo:
<BR>
<BR>G = 1/(X1 – 1) + 1/(X2 – 1) + … + 1/(X(n) – 1) = (X2 – 1)(X3 – 1) … (X(n) – 1) + … + (X1 – 1)(X2 – 1) … (X(n-1) - 1)/((X1 - 1)(X2 – 1) … (X(n) – 1))
<BR>Essendo X^n + X^(n-1) + … + X + 1 = (X – X1) (X – X2) … (X – X(n)) = P(x), si ha che, quando n è pari, il denominatore di G è pari a P(1) = n + 1 (si invertono tutti i fattori e si sostituisce 1 a x), mentre, se n è dispari, è uguale a – P(1) = – (n + 1). Si nota inoltre che il denominatore è composto da:
<BR>- tutti i possibili prodotti fra n – 1 radici, presi una volta ciascuno; la loro somma è quindi, per alcune considerazioni sui coefficienti di P(x), pari a 1 se n è dispari, e a – 1 se n è pari
<BR>- l’opposto di tutti i possibili prodotti fra n – 2 radici, presi due volte ciascuno; la loro somma, per motivi analoghi, è pari a 2 se n è dispari, a – 2 se n è pari
<BR>- …
<BR>Si prosegue in questo modo finché si arriva da n – 1 radici a 0 radici, ottenendo come risultato la somma 1 + 2 + 3 + … + n se n è dispari, o il suo opposto se n è pari. Pertanto G sarà uguale a : n(n + 1)/(– 2(n + 1) = - n/2 se n è dispari, oppure a – n(n + 1)/(2(n + 1)) = - n/2. Pertanto G = - n/2.
<BR>
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karl
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Messaggio da karl »

E\' una soluzione certamente interessante.
<BR>Si puo\' provare a renderla (forse) meno laboriosa
<BR>facendo la posizione X-1=Y e poi applicando Viète.
<BR>Ciao.
Bloccato