serie

[mik]

dimostrare che la serie degli inversi dei numeri primi diverge.
<BR>
<BR>spero non sia anche questa una cazzata e di non essere deriso, perchè io non ci sono ancora riuscito...
<BR>
<BR>ciao

[mik]

nessuna idea o non è chiaro il problema?

[mik]

forza gente!
<BR>
<BR>con tutta la gente intelligente che c\'è in questo sito nessuno che abbia voglia di pensarci?
<BR>
<BR>secondo me è stimolante...

[J4Ck202]

Secondo me si fa meno fatica a cercare la brillante dimostrazione di Erdos.
<BR>Non è una serie del tutto immediata.

[mik]

scusami l\'ignoranza ma non so cosa sia una dimostrazione di erdos...
<BR>
<BR>mi illumini?
<BR>(non ti sto prendendo per il culo...)

[EvaristeG]

Beh, prendiamo qualcosa che diverge...
<BR>
<BR>Sum[1....N](1/n)
<BR>
<BR>e osserviamo che
<BR>
<BR>Sum[1....N](1/n)<= Prod[p_j<=N]( Sum(1/p_j)^i )=
<BR>
<BR>=Prod[p_j<=N](1 - (1/p_j) )^(-1)<= EXP ( Sum[p_j<=N](2/p_j) )
<BR>
<BR>dove l\'ultima disuguaglianza è vera poichè
<BR>(1-x)^(-1)<= e^(2x)
<BR>se 0<=x<=(1/2)
<BR>
<BR>Quindi, prendendo il logaritmo e dividendo per due otteniamo
<BR>
<BR>log(sqrt(H_n))<=Sum[p_j<=n](1/p_j)
<BR>
<BR>e poichè H_n---> Inf se n---> Inf, anche il log della radice tende a infinito e quindi la serie degli inversi dei primi diverge.
<BR>
<BR>Mi rendo conto che la simbologia è un po\' pesante, ma non è nulla di complicato.
<BR>
<BR>La prima disuguaglianza c\'è anche nel Courant-Robbins...nn mi ricordo più a che proposito...
<BR>
<BR>
<BR>PS: La dimostrazione di Erdos è semplicemente la dimostrazione scritta da Paul Erdos, matematico novecentesco, grande teorico dei numeri, brillantissimo nelle sue dimostrazioni. nn so però dove si possa trovarla...in realtà non credo di averla mai vista.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 25-07-2004 02:36 ]