1) trovare tutte le f: R-->R tali che
<BR>
<BR>f(xf(x) + f(y))=[f(x)]<sup>2</sup> + y
<BR>
<BR>per ogni x e y reali
<BR>
<BR>(carino, neanche troppo difficile... leggetevi l\'ottima dispensa di fph magari, prima di provarci)
<BR>
<BR>------------
<BR>
<BR>2) trovare tutti gli n naturali 2000<=n<=2010 tali che la parte intera di
<BR>
<BR>[sqrt(2)/4]*(1+sqrt(2))<sup>n</sup>
<BR>
<BR>è divisibile per 7
<BR>
<BR>(ovviamente è consigliabile trovare un criterio generale, togliendo quel vincolo su n)
<BR>
<BR>------------
<BR>
<BR>3) questo è un vecchio problema di jack, che non so se abbia poi risolto...
<BR>lo propongo, visto che le produttorie ultimamente sono di moda
<BR>
<BR>dimostrare che la successione
<BR>
<BR>{a<sub>n</sub>=prod[k=1->n] k<sup>[1/(2<sup>k-1</sup>)]</sup>}
<BR>
<BR>(in pratica sqrt(2*sqrt(3*sqrt(....*sqrt(n)...))))
<BR>
<BR>è crescente e limitata superiormente, e calcolarne il limite per n -> +inf
<BR>
<BR>------------
<BR>
<BR>have fun<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-07-2004 18:58 ]
accanimento algebrico
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-07 18:54, talpuz wrote:
<BR>1) trovare tutte le f: R-->R tali che
<BR>f(xf(x) + f(y))=[f(x)]<sup>2</sup> + y
<BR>per ogni x e y reali
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>azz... sei andato a proporre proprio l\'equazione funzionale che volevamo mettere nel giornalino 14...
<BR>ma con tutti i problemi che ci sono al mondo proprio quello? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
<BR>
<BR>ps le tue soluzioni al 13 sono andate perse in un errore di sistema, mi spiaaaaaace...
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> (scherzo... ci inventeremo qualcos\'altro)
<BR>On 2004-07-07 18:54, talpuz wrote:
<BR>1) trovare tutte le f: R-->R tali che
<BR>f(xf(x) + f(y))=[f(x)]<sup>2</sup> + y
<BR>per ogni x e y reali
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>azz... sei andato a proporre proprio l\'equazione funzionale che volevamo mettere nel giornalino 14...
<BR>ma con tutti i problemi che ci sono al mondo proprio quello? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
<BR>
<BR>ps le tue soluzioni al 13 sono andate perse in un errore di sistema, mi spiaaaaaace...
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> (scherzo... ci inventeremo qualcos\'altro)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
1°)
<BR>Derivando rispetto ad x si ha [fx=derivata rispetto ad x]:
<BR>f\'x(xf(x)+f(y))*[f(x)+xf\'x(x)]=2f(x)f\'x(x)
<BR>da cui:
<BR>f\'x(xf(x)+f(y))=(2f(x)f\'(x))/(f(x)+xf\'(x))
<BR>Osserviamo ora che il 2° membro,per un prefissato x, e\' costante
<BR>al variare di y (perche\' non dipende da y),
<BR>e dunque tale sara\' anche il 1° membro:
<BR>f\'x(-)=A (costante). Integrando risulta:
<BR>f(x)=Ax+B e sostituendo tale valore nella relazione funzionale
<BR>di partenza:
<BR>A^2*x^2+ABx+A^2*y+AB+B=A^2*x^2+2ABx+B^2+y
<BR>Dovendo questa eguaglianza essere valida per ogni x ed y,sara\':
<BR>AB=2AB
<BR>A^2=1
<BR>AB+B=B^2
<BR>Le uniche soluzioni possibili sono:
<BR><!-- BBCode Start --><B>A=1,B=0--->f(x)=x; A=-1,B=0--->f(x)=-x</B><!-- BBCode End -->
<BR>Ho dovuto supporre la f almeno di classe C1,in modo da garantire
<BR>la derivabilita\'.Poiche\' le due funzioni trovate sono soluzioni
<BR>effettive del problema,mi chiedevo se questo verifica \"a posteriori\"
<BR>sia lecita...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 08-07-2004 22:58 ]
<BR>Derivando rispetto ad x si ha [fx=derivata rispetto ad x]:
<BR>f\'x(xf(x)+f(y))*[f(x)+xf\'x(x)]=2f(x)f\'x(x)
<BR>da cui:
<BR>f\'x(xf(x)+f(y))=(2f(x)f\'(x))/(f(x)+xf\'(x))
<BR>Osserviamo ora che il 2° membro,per un prefissato x, e\' costante
<BR>al variare di y (perche\' non dipende da y),
<BR>e dunque tale sara\' anche il 1° membro:
<BR>f\'x(-)=A (costante). Integrando risulta:
<BR>f(x)=Ax+B e sostituendo tale valore nella relazione funzionale
<BR>di partenza:
<BR>A^2*x^2+ABx+A^2*y+AB+B=A^2*x^2+2ABx+B^2+y
<BR>Dovendo questa eguaglianza essere valida per ogni x ed y,sara\':
<BR>AB=2AB
<BR>A^2=1
<BR>AB+B=B^2
<BR>Le uniche soluzioni possibili sono:
<BR><!-- BBCode Start --><B>A=1,B=0--->f(x)=x; A=-1,B=0--->f(x)=-x</B><!-- BBCode End -->
<BR>Ho dovuto supporre la f almeno di classe C1,in modo da garantire
<BR>la derivabilita\'.Poiche\' le due funzioni trovate sono soluzioni
<BR>effettive del problema,mi chiedevo se questo verifica \"a posteriori\"
<BR>sia lecita...
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 08-07-2004 22:58 ]
non potrebero esserci per soluzione funzioni non derivabili?
<BR>cioè, la verifica secondo me \"verifica\" che la tua condizione necessaria, è anche sufficiente, ma sempre partendo da un\'ipotesi limitata, e cioè che la f sia derivabile.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 08-07-2004 18:08 ]
<BR>cioè, la verifica secondo me \"verifica\" che la tua condizione necessaria, è anche sufficiente, ma sempre partendo da un\'ipotesi limitata, e cioè che la f sia derivabile.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 08-07-2004 18:08 ]
c\'è una strada carina ed elementare, in cui non c\'è ombra della parola \"derivazione\"
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>azz... sei andato a proporre proprio l\'equazione funzionale che volevamo mettere nel giornalino 14...
<BR>ma con tutti i problemi che ci sono al mondo proprio quello?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ooooooooooooooooooooooppppssssssss.........
<BR>
<BR>sorry <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>non ho fatto apposta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>vedrò di non postare problemi appena prima delle uscite del giornalino, d\'ora in poi...
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>azz... sei andato a proporre proprio l\'equazione funzionale che volevamo mettere nel giornalino 14...
<BR>ma con tutti i problemi che ci sono al mondo proprio quello?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ooooooooooooooooooooooppppssssssss.........
<BR>
<BR>sorry <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>non ho fatto apposta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>vedrò di non postare problemi appena prima delle uscite del giornalino, d\'ora in poi...
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
Ciao!
<BR>Dato che ho cominciato a studiare anch\'io le equazioni funzionali (grazie fph per la bella dispensa!) provo a risolvere questa.
<BR>
<BR>f(xf(x) + f(y))=[f(x)]^2 + y
<BR>
<BR>Poniamo x=0:
<BR>f(f(y))=f(0)^2 + y => f(y) biiettiva perchè y+k é la funzione lineare ed essendo f(f(y)) biiettiva lo é anche f(y).
<BR>
<BR>Scegliamo x tale che f(x)=0. Possiamo farlo perché f(x) é surgettiva:
<BR>f(f(y))=y
<BR>
<BR>Per la surgettività di f possiamo porre per ogni y f(t)=y:
<BR>f(xf(x) + f(f(t)))=[f(x)]^2 + f(t) e essendo f(f(t))=t
<BR>f(xf(x) + t)=[f(x)]^2 + f(t) (1)
<BR>
<BR>Sempre per la surgettività di f possiamo porre per ogni x f(u)=x:
<BR>f(f(u)f(f(u)) + t)=[f(f(u))]^2 + f(t) e essendo f(f(u))=u
<BR>f(f(u)u + t)=u^2 + f(t) (2)
<BR>
<BR>Le espressioni di sinistra nella (1) e nella (2) sono identiche ponendo t=u=x per cui:
<BR>[f(x)]^2 + f(x)=x^2 + f(x), cioè [f(x)]^2=x^2, quindi f(x)=+-x
<BR>
<BR>Sostituendo, si verifica che f(x)=x e f(x)=-x sono soluzioni.
<BR>Supponiamo che esista anche una sol in cui f(x)=x per alcuni x e f(x)=-x per gli altri.
<BR>Allora ci sono almeno un h e un k=/=0 tali che f(h)=-h e f(k)=k.
<BR>Sosituendo nell\'equazione, ponendo x=h e y=k, si ha:
<BR>f(-h^2 + k)=h^2 + k
<BR>Ma
<BR>f(-h^2 + k)= -h^2 + k o h^2 - k, contraddizione in entrambi i casi.
<BR>Dato che ho cominciato a studiare anch\'io le equazioni funzionali (grazie fph per la bella dispensa!) provo a risolvere questa.
<BR>
<BR>f(xf(x) + f(y))=[f(x)]^2 + y
<BR>
<BR>Poniamo x=0:
<BR>f(f(y))=f(0)^2 + y => f(y) biiettiva perchè y+k é la funzione lineare ed essendo f(f(y)) biiettiva lo é anche f(y).
<BR>
<BR>Scegliamo x tale che f(x)=0. Possiamo farlo perché f(x) é surgettiva:
<BR>f(f(y))=y
<BR>
<BR>Per la surgettività di f possiamo porre per ogni y f(t)=y:
<BR>f(xf(x) + f(f(t)))=[f(x)]^2 + f(t) e essendo f(f(t))=t
<BR>f(xf(x) + t)=[f(x)]^2 + f(t) (1)
<BR>
<BR>Sempre per la surgettività di f possiamo porre per ogni x f(u)=x:
<BR>f(f(u)f(f(u)) + t)=[f(f(u))]^2 + f(t) e essendo f(f(u))=u
<BR>f(f(u)u + t)=u^2 + f(t) (2)
<BR>
<BR>Le espressioni di sinistra nella (1) e nella (2) sono identiche ponendo t=u=x per cui:
<BR>[f(x)]^2 + f(x)=x^2 + f(x), cioè [f(x)]^2=x^2, quindi f(x)=+-x
<BR>
<BR>Sostituendo, si verifica che f(x)=x e f(x)=-x sono soluzioni.
<BR>Supponiamo che esista anche una sol in cui f(x)=x per alcuni x e f(x)=-x per gli altri.
<BR>Allora ci sono almeno un h e un k=/=0 tali che f(h)=-h e f(k)=k.
<BR>Sosituendo nell\'equazione, ponendo x=h e y=k, si ha:
<BR>f(-h^2 + k)=h^2 + k
<BR>Ma
<BR>f(-h^2 + k)= -h^2 + k o h^2 - k, contraddizione in entrambi i casi.
Ogni scoperta consiste nel vedere quello che tutti hanno visto e nel pensare a quello a cui nessuno ha mai pensato. (Albert Szent-Gyorgyi)
-
MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-08 21:08, karl wrote:
<BR>Come ho gia\' scritto,anch\'io ho avuto forti perplessita\'
<BR>nel postare la soluzione sul funzionale.
<BR>I controesempi possono essere utili proprio
<BR>per vedere dove sbaglio ed eventualmente correggere.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Supponi di avere una funzione f da R a R, e di sapere che f(x)=0 per ogni x diverso da 0.
<BR>Supponiamo che f sia derivabile.
<BR>Allora f è continua.
<BR>Quindi f(0)=0, altrimenti vi sarebbe una discontinuità in x=0.
<BR>Quindi f(x)=0 per ogni x.
<BR>La funzione trovata è derivabile, <!-- BBCode Start --><I>quindi a posteriori deduciamo</I><!-- BBCode End --> che era lecito supporre la derivabilità, e che quindi f(0)=0 è l\'unica possibilità.
<BR>Tuttavia, anche f(0)=1 rispetta le condizioni iniziali.
<BR>
<BR>Va bene come controesempio?
<BR>
<BR>In generale, se supponi vera una cosa, è difficile che nelle conclusioni quella cosa non sia più vera...
<BR>On 2004-07-08 21:08, karl wrote:
<BR>Come ho gia\' scritto,anch\'io ho avuto forti perplessita\'
<BR>nel postare la soluzione sul funzionale.
<BR>I controesempi possono essere utili proprio
<BR>per vedere dove sbaglio ed eventualmente correggere.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Supponi di avere una funzione f da R a R, e di sapere che f(x)=0 per ogni x diverso da 0.
<BR>Supponiamo che f sia derivabile.
<BR>Allora f è continua.
<BR>Quindi f(0)=0, altrimenti vi sarebbe una discontinuità in x=0.
<BR>Quindi f(x)=0 per ogni x.
<BR>La funzione trovata è derivabile, <!-- BBCode Start --><I>quindi a posteriori deduciamo</I><!-- BBCode End --> che era lecito supporre la derivabilità, e che quindi f(0)=0 è l\'unica possibilità.
<BR>Tuttavia, anche f(0)=1 rispetta le condizioni iniziali.
<BR>
<BR>Va bene come controesempio?
<BR>
<BR>In generale, se supponi vera una cosa, è difficile che nelle conclusioni quella cosa non sia più vera...
3° es.
<BR>Premesse (tanto per cambiare)
<BR>1)Per ogni n in N risulta:
<BR><!-- BBCode Start --><B>n<=2<sup>n-1</sup></B><!-- BBCode End -->
<BR>Si dimostra facilmente per induzione.
<BR>2)Per ogni x in R e per ogni n>=1 si ha:
<BR>Sn(x)=1x+2x<sup>2</sup>+3x<sup>3</sup>+4x<sup>4</sup>+...+nx<sup>n</sup>=x/(x-1)<sup>2</sup>[nx<sup>n+1</sup>-(n+1)x<sup>n</sup>+1]
<BR>{dimostrero\' in seguito tale formula}.
<BR>In particolare per x=1/2, risulta:
<BR>Sn(1/2)=2[1-(n+2)/2<sup>n+1</sup>]
<BR>Tornando al quesito proposto, abbiamo
<BR>a(n+1)/a(n)=(n+1)<sup>1/2<sup>n</sup></sup>
<BR>cioe\':a(n+1)/a(n)>1.Cio\' prova che la successione e\' (strettamente) crescente.
<BR>Inoltre ,per 1° premessa, risulta:
<BR>a(n)<=Prod[k=1..n](2<sup>k-1</sup>)<sup>1/2<sup>k-1</sup></sup>
<BR>ovvero:
<BR>a(n)<=Prod[k=1..n]2<sup>(k-1)/2<sup>(k-1)</sup></sup>
<BR>oppure:
<BR>a(n)<=2<sup>Sum[k=1..n](k-1)/2<sup>(k-1)</sup>
<BR>E per la 2° premessa:
<BR>a(n)<=2<sup>2[1-(n+1)/2<sup>n</sup>]</sup>
<BR>Infine risulta:a(n)<4 e cio\' prova che a(n) e\' limitata
<BR>e quindi la successione e\' convergente.
<BR>Il limite pare essere compreso tra 2.76 e 2.77 ma non
<BR>sono riuscito a trovare una formula (chiusa ) per determinarlo
<BR>con precisione.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 11-07-2004 16:35 ]
<BR>Premesse (tanto per cambiare)
<BR>1)Per ogni n in N risulta:
<BR><!-- BBCode Start --><B>n<=2<sup>n-1</sup></B><!-- BBCode End -->
<BR>Si dimostra facilmente per induzione.
<BR>2)Per ogni x in R e per ogni n>=1 si ha:
<BR>Sn(x)=1x+2x<sup>2</sup>+3x<sup>3</sup>+4x<sup>4</sup>+...+nx<sup>n</sup>=x/(x-1)<sup>2</sup>[nx<sup>n+1</sup>-(n+1)x<sup>n</sup>+1]
<BR>{dimostrero\' in seguito tale formula}.
<BR>In particolare per x=1/2, risulta:
<BR>Sn(1/2)=2[1-(n+2)/2<sup>n+1</sup>]
<BR>Tornando al quesito proposto, abbiamo
<BR>a(n+1)/a(n)=(n+1)<sup>1/2<sup>n</sup></sup>
<BR>cioe\':a(n+1)/a(n)>1.Cio\' prova che la successione e\' (strettamente) crescente.
<BR>Inoltre ,per 1° premessa, risulta:
<BR>a(n)<=Prod[k=1..n](2<sup>k-1</sup>)<sup>1/2<sup>k-1</sup></sup>
<BR>ovvero:
<BR>a(n)<=Prod[k=1..n]2<sup>(k-1)/2<sup>(k-1)</sup></sup>
<BR>oppure:
<BR>a(n)<=2<sup>Sum[k=1..n](k-1)/2<sup>(k-1)</sup>
<BR>E per la 2° premessa:
<BR>a(n)<=2<sup>2[1-(n+1)/2<sup>n</sup>]</sup>
<BR>Infine risulta:a(n)<4 e cio\' prova che a(n) e\' limitata
<BR>e quindi la successione e\' convergente.
<BR>Il limite pare essere compreso tra 2.76 e 2.77 ma non
<BR>sono riuscito a trovare una formula (chiusa ) per determinarlo
<BR>con precisione.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 11-07-2004 16:35 ]