accanimento algebrico

JackSparrow · Messaggio da **JackSparrow** » 01 gen 1970, 01:33

Qualche osservazione sul 3:
 Sostituendo 0 a n si ottiene f(10) - 20 = 0, da cui f(10) = 20; in generale si osserva che, se esiste un numero n tale che f(n) = n + 10, si ha f(n + 10) - 2(n + 10) + n = 0, da cui f(n + 10) = n + 20. Quindi, essendo f(0) = 10, si ha f(10k) =10(k + 1) per ogni k intero e positivo. Inoltre si ha che la funzione f(x) = x + 10 soddisfa alle ipotesi del problema, quindi per a = 1001 + 10 = 1011 il problema ammette soluzione.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 20:58, JackSparrow wrote:
 Qualche osservazione sul 3:
 Sostituendo 0 a n si ottiene f(10) - 20 = 0, da cui f(10) = 20; in generale si osserva che, se esiste un numero n tale che f(n) = n + 10, si ha f(n + 10) - 2(n + 10) + n = 0, da cui f(n + 10) = n + 20. Quindi, essendo f(0) = 10, si ha f(10k) =10(k + 1) per ogni k intero e positivo. Inoltre si ha che la funzione f(x) = x + 10 soddisfa alle ipotesi del problema, quindi per a = 1001 + 10 = 1011 il problema ammette soluzione.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 indubbiamente per a=1011 c\'è la funzione f(x)=x+10, ma l\'esercizio chiede di determinare tutti i valori di f(1001) per cui esiste una funzione che soddisfa all\'e.f....

JackSparrow · Messaggio da **JackSparrow** » 01 gen 1970, 01:33

Infatti le mie erano solo delle osservazioni. Comunque tra i polinomi l\'unico che soddisfa le condizioni del problema è f(n) = n + 10, poichè si sa già che deve dare questo risultato per ogni n multiplo di 10 (se esistesse un altro P(x) tale che P(10x) = 10x + 10, P(x) - x - 10 dovrebbe annullarsi per ognuno degli infiniti multipli di 10, il che è impossibile); tuttavia potrebbero anche esserci funzioni di altro tipo che soddisfano le condizioni del problema.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-27 20:30, talpuz wrote:
 
 quindi se c\'è una f che soddisfa tutte le condizioni, f(1)=(1 + sqrt(5))/2 oppure f(1)=(1 - sqrt(5))/2
 
 ora bisognerebbe verificare che effettivamente \'ste funzioni esistono... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 e in effetti sembra che \'ste funzioni non esistano...
 
 infatti: con un procedimento del tutto analogo a quello usato per ricavare f(1), si ha che per un x fissato
 
 f(x)=(1+sqrt(5))/(2x) oppure f(x)=(1-sqrt(5))/(2x)
 
 le funzioni f(x)=(1+sqrt(5))/(2x) per ogni x>0 e f(x)=(1-sqrt(5))/(2x) per ogni x>0 soddisfano tutte le condizioni, tranne la crescenza stretta.
 
 quindi se esiste una f che soddisfa a tutte le condizioni, esiste x1 tale che f(x1)=(1-sqrt(5))/(2x1)
 
 prendiamo allora x2 > x1 che esiste sicuramente.
 
 poichè non può essere f(x2)=(1-sqrt(5))/(2x2)
 (altrimenti non sarebbe soddisfatta l\'ipotesi della crescenza)
 
 deve essere f(x2)=(1+sqrt(5))/(2x2)
 
 anche supponendo che l\'ipotesi sulla crescenza sia soddisfatta con questa scelta, prendiamo x3 tale che x2 > x3 > x1 (anche questo esiste sicuramente)
 
 per il ragionamento precedente deve essere f(x3)=(1+sqrt(5))/(2x3)
 
 ma allora f(x3) > f(x2), che contraddice la crescenza
 
 quindi non esistono soluzioni che soddisfano a tutte le condizioni, e menchè meno esiste f(1) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

vecchio · Messaggio da **vecchio** » 01 gen 1970, 01:33

scusate se sono in incognito...sono cmq IL VECCHIO...
 
 grazie a fph delle spieegazioni...ora vado a cercarmi la tua dispenza...
 
 ah un\'ultima domanda...forse fuori luogo ma mi è venuta in mente in qeusti giorni...ma per fare il test alla Normale si deve pagare qualcosa??? o è gratis??
 
 grazie mille
 il vecchio

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

no, però devi mandare la domanda per partecipare al concorso entro il 23 agosto (mi pare) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-08-2004 19:29 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 12:27, massiminozippy wrote:
 
 3)Dire per quali valori di a esiste una funzione f:N-->N con le proprieta seguenti: f(f(n))-2f(n)+n=0 per ogni n appartenente ad N; f(0)=10;
 f(1001)=a. (Cortona 1990).
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 vabè, visto che questa non è ancora stata risolta...
 
 fissato un naturale n definiamo una successione xk ricorsivamente in questo modo
 
 x0=n
 xk+1=f(xk)
 
 in pratica xk è l\'iterata k-esima della f (applicata sul naturale n)
 
 con questa notazione, l\'equazione funzionale implica
 
 xn+2-2xn+1+xn=0
 
 l\'equazione caratteristica associata è
 
 z2-2z+1=0, che ha un\'unica soluzione z=1
 
 dunque xk=a(1)k+bk(1)k
 
 con a e b costanti da determinare
 
 da x0=n si ottiene a=n, e dunque ricavando
 
 x1=f(n)=n+b
 
 e infine da f(0)=10, b=10
 
 quindi l\'unica soluzione è f(n)=n+10, e f(1001)=1011
 
 p.s:wow! messaggio numero 666!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 21-08-2004 14:20 ]