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JackSparrow
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Messaggio da JackSparrow » 01 gen 1970, 01:33

Qualche osservazione sul 3:
<BR>Sostituendo 0 a n si ottiene f(10) - 20 = 0, da cui f(10) = 20; in generale si osserva che, se esiste un numero n tale che f(n) = n + 10, si ha f(n + 10) - 2(n + 10) + n = 0, da cui f(n + 10) = n + 20. Quindi, essendo f(0) = 10, si ha f(10k) =10(k + 1) per ogni k intero e positivo. Inoltre si ha che la funzione f(x) = x + 10 soddisfa alle ipotesi del problema, quindi per a = 1001 + 10 = 1011 il problema ammette soluzione.

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 20:58, JackSparrow wrote:
<BR>Qualche osservazione sul 3:
<BR>Sostituendo 0 a n si ottiene f(10) - 20 = 0, da cui f(10) = 20; in generale si osserva che, se esiste un numero n tale che f(n) = n + 10, si ha f(n + 10) - 2(n + 10) + n = 0, da cui f(n + 10) = n + 20. Quindi, essendo f(0) = 10, si ha f(10k) =10(k + 1) per ogni k intero e positivo. Inoltre si ha che la funzione f(x) = x + 10 soddisfa alle ipotesi del problema, quindi per a = 1001 + 10 = 1011 il problema ammette soluzione.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>indubbiamente per a=1011 c\'è la funzione f(x)=x+10, ma l\'esercizio chiede di determinare tutti i valori di f(1001) per cui esiste una funzione che soddisfa all\'e.f....
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JackSparrow
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Messaggio da JackSparrow » 01 gen 1970, 01:33

Infatti le mie erano solo delle osservazioni. Comunque tra i polinomi l\'unico che soddisfa le condizioni del problema è f(n) = n + 10, poichè si sa già che deve dare questo risultato per ogni n multiplo di 10 (se esistesse un altro P(x) tale che P(10x) = 10x + 10, P(x) - x - 10 dovrebbe annullarsi per ognuno degli infiniti multipli di 10, il che è impossibile); tuttavia potrebbero anche esserci funzioni di altro tipo che soddisfano le condizioni del problema.

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-27 20:30, talpuz wrote:
<BR>
<BR>quindi se c\'è una f che soddisfa tutte le condizioni, f(1)=(1 + sqrt(5))/2 oppure f(1)=(1 - sqrt(5))/2
<BR>
<BR>ora bisognerebbe verificare che effettivamente \'ste funzioni esistono... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>e in effetti sembra che \'ste funzioni non esistano...
<BR>
<BR>infatti: con un procedimento del tutto analogo a quello usato per ricavare f(1), si ha che per un x fissato
<BR>
<BR>f(x)=(1+sqrt(5))/(2x) oppure f(x)=(1-sqrt(5))/(2x)
<BR>
<BR>le funzioni f(x)=(1+sqrt(5))/(2x) per ogni x>0 e f(x)=(1-sqrt(5))/(2x) per ogni x>0 soddisfano tutte le condizioni, tranne la crescenza stretta.
<BR>
<BR>quindi se esiste una f che soddisfa a tutte le condizioni, esiste x<sub>1</sub> tale che f(x<sub>1</sub>)=(1-sqrt(5))/(2x<sub>1</sub>)
<BR>
<BR>prendiamo allora x<sub>2</sub> > x<sub>1</sub> che esiste sicuramente.
<BR>
<BR>poichè non può essere f(x<sub>2</sub>)=(1-sqrt(5))/(2x<sub>2</sub>)
<BR>(altrimenti non sarebbe soddisfatta l\'ipotesi della crescenza)
<BR>
<BR>deve essere f(x<sub>2</sub>)=(1+sqrt(5))/(2x<sub>2</sub>)
<BR>
<BR>anche supponendo che l\'ipotesi sulla crescenza sia soddisfatta con questa scelta, prendiamo x<sub>3</sub> tale che x<sub>2</sub> > x<sub>3</sub> > x<sub>1</sub> (anche questo esiste sicuramente)
<BR>
<BR>per il ragionamento precedente deve essere f(x<sub>3</sub>)=(1+sqrt(5))/(2x<sub>3</sub>)
<BR>
<BR>ma allora f(x<sub>3</sub>) > f(x<sub>2</sub>), che contraddice la crescenza
<BR>
<BR>quindi non esistono soluzioni che soddisfano a tutte le condizioni, e menchè meno esiste f(1) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

vecchio
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Messaggio da vecchio » 01 gen 1970, 01:33

scusate se sono in incognito...sono cmq IL VECCHIO...
<BR>
<BR>grazie a fph delle spieegazioni...ora vado a cercarmi la tua dispenza...
<BR>
<BR>ah un\'ultima domanda...forse fuori luogo ma mi è venuta in mente in qeusti giorni...ma per fare il test alla Normale si deve pagare qualcosa??? o è gratis??
<BR>
<BR>grazie mille
<BR>il vecchio

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

no, però devi mandare la domanda per partecipare al concorso entro il 23 agosto (mi pare)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-08-2004 19:29 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 12:27, massiminozippy wrote:
<BR>
<BR>3)Dire per quali valori di a esiste una funzione f:N-->N con le proprieta seguenti: f(f(n))-2f(n)+n=0 per ogni n appartenente ad N; f(0)=10;
<BR>f(1001)=a. (Cortona 1990).
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>vabè, visto che questa non è ancora stata risolta...
<BR>
<BR>fissato un naturale n definiamo una successione x<sub>k</sub> ricorsivamente in questo modo
<BR>
<BR>x<sub>0</sub>=n
<BR>x<sub>k+1</sub>=f(x<sub>k</sub>)
<BR>
<BR>in pratica x<sub>k</sub> è l\'iterata k-esima della f (applicata sul naturale n)
<BR>
<BR>con questa notazione, l\'equazione funzionale implica
<BR>
<BR>x<sub>n+2</sub>-2x<sub>n+1</sub>+x<sub>n</sub>=0
<BR>
<BR>l\'equazione caratteristica associata è
<BR>
<BR>z<sup>2</sup>-2z+1=0, che ha un\'unica soluzione z=1
<BR>
<BR>dunque x<sub>k</sub>=a(1)<sup>k</sup>+bk(1)<sup>k</sup>
<BR>
<BR>con a e b costanti da determinare
<BR>
<BR>da x<sub>0</sub>=n si ottiene a=n, e dunque ricavando
<BR>
<BR>x<sub>1</sub>=f(n)=n+b
<BR>
<BR>e infine da f(0)=10, b=10
<BR>
<BR>quindi l\'unica soluzione è f(n)=n+10, e f(1001)=1011
<BR>
<BR>p.s:wow! messaggio numero <B>666</B>!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 21-08-2004 14:20 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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