accanimento algebrico

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

4)f: N -> N tale che
<BR>
<BR>f(m+f(n))=n+f(m+100) per ogni m,n in N
<BR>
<BR>Sol: <!-- BBCode Start --><B>f(n)=n+100 per ogni n€N</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Dimostrazione:
<BR>
<BR>Poniamo m=0 e otteniamo f(f(n))=n+f(100) quindi f(-) è iniettiva.
<BR>Poniamo m=f(x) e n=y e otteniamo:
<BR>
<BR>f(f(x)+f(y))=y+f(f(x)+100)=x+y+f(200)
<BR>
<BR>Poniamo m=100 e n=x+y ottenendo:
<BR>
<BR>f(100+f(x+y))=x+y+f(200)
<BR>
<BR>Quindi f(f(x)+f(y))=f(f(x+y)+100) e, per l\'iniettività:
<BR>
<BR>f(x)+f(y)=f(x+y)+100
<BR>
<BR>ponendo f(x)=g(x)+100 otteniamo:
<BR>
<BR>g(x)+g(y)=g(x+y)
<BR>
<BR>che ha come soluzione g(x)=ax con x€N per quanto detto nella dispensa di fph. Ora sostituiamo l\'eq trovata f(x)=ax+100 nell\'e.f. iniziale e troviamo:
<BR>
<BR>f(m+f(n))=n+f(m+100)
<BR>am+a²n+100a+100=n+am+100a+100
<BR>a²n=n
<BR>
<BR>che ha per soluzione a=+1 o a=-1 ma visto che f(-) va da N in N l\'unico valore accettabile è a=1
<BR>
<BR>Quindi f(n)=n+100 per ogni n€N
<BR>
<BR>C.V.D. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>P.S.: Possiamo estendere la sol a Z con |a|=1 e, vosto che ora è biiettiva (quindi invertibile) si può estendere il risultato anke su R con |a|=1
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 22-07-2004 16:44 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 24-07-2004 14:04 ]

fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Mi sembra che funzioni... Bravo Simo!
<BR>
<BR>--f
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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Poniamo m=0 e otteniamo f(f(n))=n+f(100) quindi f(-) è biiettiva.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>Io ho necessita\' di qualche ulteriore spiegazione sul passo citato sopra.
<BR>
<BR>In particolare dove e\' che f(.) e\' biiettiva? Sono convinto che lo e\' per valori maggiori od uguali ad f(100), ma per valori inferiori, come si vede?
<BR>
<BR>Un\'altra perplessita\' e\' l\'uso del valore 0 sulle variabili della formula che per ipotesi e\' valida per valori naturali.
<BR>
<BR>Grazie anticipate a chi vorra\' chiarirmi questi dubbi.
<BR>
<BR>
<BR>

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

beh... 0 appartiene ad N <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>quanto all\'altra questione, c\'è da dar ragione a rocco...
<BR>magari si può considerare la funzione sul campo intero e poi fare le adeguate restrizioni... altrimenti sui naturali NON è biiettiva (f(n)>99).

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

In effetti, mi sembra di capire, non serve la bijettivita\' ma basta l\'iniettivita\' e su questa mi ci ritrovo.
<BR>
<BR>davvero una bella soluzione!!!
<BR>
<BR>
<BR>

vecchio
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Messaggio da vecchio » 01 gen 1970, 01:33

scusate tanto...è un po\' che mi aggiro per le pagine di questo forum, di rado intervenendo...e mi rendo conto che non so proprio nulla di matematica!!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> non so chi sia questo Engel...non ho mai sentito parlare di equazioni funzionali...mi sento veramente un ignorante!!
<BR>c\'è secondo voi qualche remota possibilità di capirci qualcosa anche senza essere un genio? (come credo molti di voi qui..) e in tal caso, come??
<BR>parlo seriamente eh! voglio veramente imparare a capirci qualcosa!! e, scusa fph, ma tu hai scritto un manuale?? ma quanti anni hai??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>è incredibile...vedo nello schermo del mio computer un regno per me del tutto inesplorato e che tuttavia mi affascina molto!
<BR>spero che qualcuno mi dia qualche suggerimento per COMINCIARE ad imparare! (partiamo dell\'ABC...però eh <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )
<BR>
<BR>grazie e complimenti a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>il vecchio

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

ok Simo!
<BR>
<BR>dopo aver trovato
<BR>
<BR>f(x)+f(y)=f(x+y)+100
<BR>
<BR>si poteva anche porre y=1 e dimostrare per induzione che
<BR>
<BR>f(x)=x(f(1)-100)+100
<BR>
<BR>cioè f(x)=kx+100 e da lì avanti
<BR>
<BR>cmq va benissimo come hai fatto tu, anzi forse è più breve <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

In effetti e\' vero che non e\' suriettiva (la soluzione n+100 lo testimonia...), m\'era sfuggito quando ho dato la mia \"benedizione\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> alla soluzione di Simo (come un piccolo refuso quando dice \"sostituiamo n=f(x+y)\" e invece e\' x+y... ma son dettagli).
<BR>Cmq una delle idee base sotto quell\'e.f. e\' il fatto che la relazione ffn=n+qualcosa permette, con la sostituzione n->f(n), di \"portare fuori\" un simbolo di funzione in piu\' o in meno. Cosi\' si puo\' trasformare l\'asimmetrico m+f(n) in un simmetrico m+n (o f(m)+f(n)) e poi applicare l\'idea base \"scrivi f(n+1) in funzione di f(n)\" (almeno da un certo punto in poi).
<BR>
<BR>To Vecchio: sono un \"ex-ragazzo delle olimpiadi\" di 21 anni (classe \'83), ora studio matematica, perdo tempo su questo forum <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> e do una mano (per come posso...) agli organizzatori.
<BR>Ho scritto una breve dispensa sulle equazioni funzionali (la trovi su fph.altervista.org), non e\' niente di cosi\' organico o devastante... anzi, mi ci sono divertito. L\'Engel e\' un libro di preparazione per le gare IMO-like, in inglese, molto istruttivo e ben godibile da un livello >=Cesenatico (=non c\'e\' troppissima teoria avanzata e cose date per scontate...)
<BR>
<BR>Equazioni funzionali: ti sarai reso conto di cosa sono dagli esempi che sono passati su questo topic, sono \"equazioni con una funzione per incognita\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Sono un argomento \"classico\" del problem-solving, forse non sono la cosa migliore da cui iniziare (serve un po\' di \"tecnica\") ma sono molto divertenti... soprattutto perche\' si risolvono con pochissima teoria, basta solo \"smanettare\" un po\' con le relazioni algebriche e le sostituzioni.
<BR>Ti rimando alla mia dispensuola se vuoi saperne di piu\' (mi faccio pubblicita\' in modo spudorato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
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Leblanc
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Messaggio da Leblanc » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Simo!
<BR>Non mi è chiara una cosa:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-22 16:42, Simo_the_wolf wrote:
<BR>Poniamo m=0 e otteniamo f(f(n))=n+f(100) quindi f(-) è biiettiva.
<BR>Poniamo m=f(x) e n=y e otteniamo:
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Si puo\' porre, se f non è surgettiva, m=f(x)?
Ogni scoperta consiste nel vedere quello che tutti hanno visto e nel pensare a quello a cui nessuno ha mai pensato. (Albert Szent-Gyorgyi)

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

in effetti qui ho sbagliato a spiegare... diciamo che al posto di m metto f(x) partendo da f(x) e non m. cioè dico: esiste un numero m tale che f(x)=m e non esiste un x tale che m=f(x)
<BR>
<BR>C\'è da fare una ulteriore precisazione: sappiamo per certo quindi che:
<BR>f(n)=an+100 (con |a|=1)
<BR>
<BR>per n>100 abbiamo che a=1 altrimenti f(n) sarebbe negativo ma non sappiamo per 100>n se a=1 o a=-1. Ovviamo a questo problema prendendo:
<BR>
<BR>f(x)+f(y)=f(x+y)+100
<BR>
<BR>supponiamo che esista un n minore di 100 tale che f(n)=100-n. allora:
<BR>
<BR>f(n)+f(101)=f(n+101)+100
<BR>
<BR>sia 101 sia 101+n sono maggiori di 100 quindi:
<BR>
<BR>f(n)=(n+101+100)+100-(101+100)=n+100
<BR>
<BR>Quindi f(n)=n+100 per ogni n naturale<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 24-07-2004 14:16 ]

fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

1) e\' tutto lecito... esplicitando meglio, \"fissato un numero x \\in N, riscrivo l\'e.f. (che valeva per ogni m \\in N) ponendo m=f(x) (x e\' fissato, quindi f(x) e\' un naturale ben determinato e possiamo sostituirlo dove piu\' ci serve)\".
<BR>
<BR>2) hmm... forse qui Simo fa un po\' di confusione: si preoccupa del fatto che potrebbe essere a=1 per certi valori della variabile (n>100) e a=-1 per altre; in generale e\' una cosa a cui stare attenti, pero\' Simo si e\' richiamato alla soluzione dell\'equazione di Cauchy, e il teoremone dice che e\' f(x)=ax, per un certo a, per /ogni/ valore di x: a e\' fissato, non cambia a seconda della x. (Se cosi\' non fosse in realta\' il teorema darebbe ben poche informazioni... tutte le funzioni nulle in 0 si scrivono come f(x)=a(x)*x ).
<BR>
<BR>Spero di essermi spiegato bene... in generale, se ricaviamo f(x)=(+/-) x + 100 da una cosa del tipo (fx-100)^2=x^2 dobbiamo preoccuparci del fatto che il segno potrebbe cambiare, ma nel caso in esame il teorema applicato ci dice che fx=ax+100 per un a /fissato/...
<BR>ciao,
<BR>--f
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Messaggio da Leblanc » 01 gen 1970, 01:33

Ok, ora ho capito... non so perche\', ma ero convinta che per fare quella sostituzione fosse necessario dire che f è suriettiva. Sarebbe diverso il caso in cui si deve sostituire f(x) con m, perche\' questo implica che m appartiene all\'immagine e potrebbe non assumere tutti i valori... ma qui si fa la sostituzione al contrario ed è diverso.
<BR>Ora mi è veramente chiaro.
<BR>Grazie per le delucidazioni!
<BR>Maria
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

Rilancio:
<BR>
<BR>1)Determinare le funzioni di una variabile che soddisfano la seguente equazione funzionale: f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2. (Cortona 198<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">.
<BR>
<BR>2)Sia f una funzion strettamente crescente, definita per x>0, che soddisfa alle condizioni: f(x)>-1/x, per ogni x; f(x)f(f(x)+1/x)=1 per ogni x.
<BR>Determinare f(1). (Cortona 1989).
<BR>
<BR>3)Dire per quali valori di a esiste una funzione f:N-->N con le proprieta seguenti: f(f(n))-2f(n)+n=0 per ogni n appartenente ad N; f(0)=10;
<BR>f(1001)=a. (Cortona 1990).

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Provo la (1)
<BR>Per x=y=0--->f(0)=1
<BR>Per x=0,y reale qualunque:
<BR>f(y)-2f(-y)+1-2f(y)=y-2 da cui
<BR><!-- BBCode Start --><B>(1) f(y)+2f(-y)=3-y</B><!-- BBCode End -->
<BR>e cambiando y in -y:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(2) f(-y)+2f(y)=3+y</B><!-- BBCode End -->
<BR>e sottraendo dalla (2) la (1):
<BR><!-- BBCode Start --><B>(3) f(y)-f(-y)=2y</B><!-- BBCode End -->
<BR>e sommando la (2) e la (3):
<BR>3f(y)=3y+3 ,da cui :
<BR><!-- BBCode Start --><B>f(x)=x+1</B><!-- BBCode End -->
<BR>

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-25 12:27, massiminozippy wrote:
<BR>
<BR>2)Sia f una funzion strettamente crescente, definita per x>0, che soddisfa alle condizioni: f(x)>-1/x, per ogni x; f(x)f(f(x)+1/x)=1 per ogni x.
<BR>Determinare f(1). (Cortona 1989).
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>visto che f è strettamente crescente, è anche iniettiva
<BR>
<BR>supponiamo che esista un y>0 tale che f(y)=0. sostituendo x=y nella relazione data si ha 0=1, assurdo
<BR>
<BR>quindi f(x)=/=0 per ogni x>0
<BR>
<BR>poniamo a=f(1) e sostituiamo x=1 nella relazione data
<BR>
<BR>a*f(a+1)=1 cioè f(a+1)=1/a
<BR>
<BR>sostituiamo ora x=a+1
<BR>
<BR>1/a * f(1/a + 1/(a+1))=1
<BR>
<BR>f((2a+1)/(a(a+1)))=a.
<BR>
<BR>allora per l\'iniettività
<BR>
<BR>(2a+1)/(a(a+1))=1
<BR>
<BR>a<sup>2</sup>-a-1=0 (a=/=0 e a=/=-1, poichè per ipotesi f(x)>-1/x)
<BR>
<BR>a=(1 +- sqrt(5))/2
<BR>
<BR>quindi se c\'è una f che soddisfa tutte le condizioni, f(1)=(1 + sqrt(5))/2 oppure f(1)=(1 - sqrt(5))/2
<BR>
<BR>ora bisognerebbe verificare che effettivamente \'ste funzioni esistono... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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