2 aiuti (entrambi credo su binomiali):
<BR>
<BR>1) sum[k=0 -->n] (2n+1,2k+1)*2^(2k+1)= ???
<BR> sum[k=0 -->n-1] (2n,2k+1)*2^(2k+1)= ???
<BR>
<BR>2) un pò + difficile: dimostrare che zeta(2n)=pi^(2n)*b_(2n)*2^(2n-1)/(2n)!
<BR>dove zeta(x)=sum[n=1 --> inf] n^(-x) x>1 e b_n sono i numeri di bernoulli
HELP!
Moderatore: tutor
La soluzione che ti propongo fa riferimento ad alcune
<BR>relazioni tra fun. goniometriche e fun.iperboliche,
<BR>nonche\' a noti sviluppi in serie delle funzioni cotg(z),
<BR>1/(1+z^2) e 2z/(e^(2z)-1).Quest\'ultima e\' la cosiddetta
<BR>funzione generatrice dei numeri di Bernoulli,di cui si e\'
<BR>gia\' parlato su questo Forum (in particolare proprio
<BR>da me sul post \"serie\" di questa stessa pagina dove,
<BR>al terzo foglio,vi sono alcune considerazioni sui numeri
<BR>e sulle funzioni di Bernouilli,tramite le serie di Fourier).
<BR>Ho scritto la soluzione con un software scientifico e lo
<BR>puoi consultare all\'URL seguente (sperando che si veda):
<BR>http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/zeta.gif
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-07-2004 15:44 ]
<BR>relazioni tra fun. goniometriche e fun.iperboliche,
<BR>nonche\' a noti sviluppi in serie delle funzioni cotg(z),
<BR>1/(1+z^2) e 2z/(e^(2z)-1).Quest\'ultima e\' la cosiddetta
<BR>funzione generatrice dei numeri di Bernoulli,di cui si e\'
<BR>gia\' parlato su questo Forum (in particolare proprio
<BR>da me sul post \"serie\" di questa stessa pagina dove,
<BR>al terzo foglio,vi sono alcune considerazioni sui numeri
<BR>e sulle funzioni di Bernouilli,tramite le serie di Fourier).
<BR>Ho scritto la soluzione con un software scientifico e lo
<BR>puoi consultare all\'URL seguente (sperando che si veda):
<BR>http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/zeta.gif
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-07-2004 15:44 ]
<!-- BBCode Start --><B>sum[k=0 -->n] (2n+1,2k+1)*2^(2k+1)=(3<sup>2n+1</sup>+1)/2</B><!-- BBCode End -->
<BR>La dimostrazione si ottiene svolgendo (a+b)<sup>2n+1</sup> con Newton,
<BR>ponendo nello sviluppo una volta a=1 e b=2 e un\'altra a=-1 e b=2 e poi
<BR>sommando.
<BR>Per non appesantire le notazioni,verifico la cosa per n=2 (2n+1=5):
<BR>[indico con C(n,k) l\'ordinario coeff.binomiale]
<BR>(1+2)^5=C(5,0)*(1^5)*(2^0)+C(5,1)*(1^4)*(2^1)+C(5,2)*(1^3)*(2^2)+
<BR>+C(5,3)*(1^2)*(2^3)+C(5,4)*(1^1)*(2^4)+C(5,5)*(1^0)*(2^5)
<BR>
<BR>(-1+2)^5=-C(5,0)*(1^5)*(2^0)+C(5,1)*(1^4)*(2^1)-C(5,2)*(1^3)*(2^2)+
<BR>+C(5,3)*(1^2)*(2^3)-C(5,4)*(1^1)*(2^4)+C(5,5)*(1^0)*(2^5)
<BR>
<BR>Sommando:
<BR>3^5+1=2[C(5,1)*(2^1)+C(5,3)*(2^3)+C(5,5)*(2^5)]
<BR>da cui la formula richiesta.
<BR>Ritengo che per la seconda somma il procedimento sia
<BR>analogo ma non l\'ho verificato ancora.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 05-07-2004 15:31 ]
<BR>La dimostrazione si ottiene svolgendo (a+b)<sup>2n+1</sup> con Newton,
<BR>ponendo nello sviluppo una volta a=1 e b=2 e un\'altra a=-1 e b=2 e poi
<BR>sommando.
<BR>Per non appesantire le notazioni,verifico la cosa per n=2 (2n+1=5):
<BR>[indico con C(n,k) l\'ordinario coeff.binomiale]
<BR>(1+2)^5=C(5,0)*(1^5)*(2^0)+C(5,1)*(1^4)*(2^1)+C(5,2)*(1^3)*(2^2)+
<BR>+C(5,3)*(1^2)*(2^3)+C(5,4)*(1^1)*(2^4)+C(5,5)*(1^0)*(2^5)
<BR>
<BR>(-1+2)^5=-C(5,0)*(1^5)*(2^0)+C(5,1)*(1^4)*(2^1)-C(5,2)*(1^3)*(2^2)+
<BR>+C(5,3)*(1^2)*(2^3)-C(5,4)*(1^1)*(2^4)+C(5,5)*(1^0)*(2^5)
<BR>
<BR>Sommando:
<BR>3^5+1=2[C(5,1)*(2^1)+C(5,3)*(2^3)+C(5,5)*(2^5)]
<BR>da cui la formula richiesta.
<BR>Ritengo che per la seconda somma il procedimento sia
<BR>analogo ma non l\'ho verificato ancora.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 05-07-2004 15:31 ]
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Simo_the_wolf
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