equazione omogenea

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simon04
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Messaggio da simon04 » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che le uniche soluzioni razionali dell\'equazione
<BR>x^3 + 3y^3 + 9z^3 - 9xyz = 0
<BR>sono x = y = z = 0 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

uppo, per i principianti...
<BR>suvvia, questo problema è fondamentale!
<BR>impegnatevi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 01 gen 1970, 01:33

Come si scrive radice cubica? dato che non lo so lo indico con 3rt...
<BR>Scriviamo x^3+3y^3+9z^3=9xyz
<BR>i termini a sinistra sono i cubi di x, 3rt(3)y e 3rt(9)z, il cui prodotto è 3xyz;
<BR>applicando la disuguaglianza fra le medie si ha:
<BR>3rt((x^3+3y^3+9z^3)/3)>=3rt(3xyz)
<BR>ovvero
<BR>x^3+3y^3+9z^3>=9xyz
<BR>sapendo che si ha l\'uguaglianza solo per x=y=z=0, si ottiene la soluzione del problema. spero di non aver scritto boiate, sono solo un principiante!
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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

Due osservazioni: l\'uguaglianza nelle disuguaglianze tra medie si ottiene quando tutti i termini suno uguali tra loro, quindi non puoi concludere subito ma devi osservare che l\'uguaglianza si ottiene se
<BR>x=3rt(3)y=3rt(9)z
<BR>e poiché 3rt(3) è irrazionale, l\'unica soluzione razionale è x=y=z=0
<BR>(forse non ci avevi pensato, forse ti sembrava ovvio, ma è la classica imprecisione che fa perdere punti nelle gare)
<BR>
<BR>
<BR>Inoltre è importante ricordare che le disuguaglianze tra medie valgono se i termini sono positivi o nulli, mentre nella proposizione che vuoi dimostrare x,y,z possono essere negativi.
<BR>
<BR>CaO
<BR>Francesco<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 01-07-2004 11:07 ]
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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 01 gen 1970, 01:33

allora usiamo il principio di discesa infinita di fermat!
<BR>Ovvero se una soluzione è x,y,z implica che anche x/3, y/3, z/3 è soluzione
<BR>reiterando all\'infinito questa impòklicazione si ottiene che la soluzione è x=y=z=0!
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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

Giusto, oserei dire che l\'esercizio era costruito appositamente per essere risolto così.
<BR>Che ne dici di essere un po\' più prolisso e spiegare come funziona la discesa infinita per quelli che non la conoscono? è un tipo di ragionamento che è bene aver presente e che può tornare utile in altre occasioni.
<BR>
<BR>CaO
<BR>Francesco
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simon04
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Messaggio da simon04 » 01 gen 1970, 01:33

Sicuramente hai ragione, ma non capisco perchè se (x, y, z) è soluzione allora (x/3, y/3, z/3) deve ancora essere soluzione.
<BR>Sostituendo x/3 al posto di x e così via ottieni nuovamente la stessa equazione, ma basta questo per avere l\'implicazione sulle soluzioni ? Non è un semplice cambiamento di variabile ?
<BR>
<BR>Ciao
<BR>Simo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: simon04 il 01-07-2004 11:35 ]

matthewtrager
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Messaggio da matthewtrager » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-06-30 16:06, simon04 wrote:
<BR>Dimostrare che le uniche soluzioni razionali dell\'equazione
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ma come fai ad applicare la discesa infinita sui razionali?

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

diventa:
<BR>a<sup>3</sup>/d<sup>3</sup> + 3b<sup>3</sup>/e<sup>3</sup> + 9c<sup>3</sup>/f<sup>3</sup> = 9abc/(def)
<BR>moltiplichi per d<sup>3</sup>*e<sup>3</sup>*f<sup>3</sup>
<BR>
<BR>e ottieni un\' equazione in interi
<BR>poi poni n=aef, m=bfd, p=dec
<BR>e dunque:
<BR>n<sup>3</sup> + 3m<sup>3</sup> + 9p<sup>3</sup>= 9mnp
<BR>con m,n,p interi
<BR>a questo punto via libera con la discesa
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 01-07-2004 13:48 ]

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 01 gen 1970, 01:33

allora, cercherò di essere più prolisso!
<BR>Il principio di discesa infinita è una variante del principio di induzione che permette di affermare che se una successione è debolmente decrescente allora è costante da un certo punto in poi..
<BR>in questo caso sostituendo x1=x/3 y1=y/3 z1=z/3 si ottiene che
<BR>x1^3+3y1^3+9z1^3=9x1y1z1
<BR>
<BR>sostituendo all\'infinito a x(n) x(n+1)=x(n)/3 e idem per le altre incognite si otterrà che il loro valore tenderà a zero, essendo abs(k/3)>=abs(k), che è la soluzione dell\'equazione!
<BR>
<BR>Ho fatto del mio meglio! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Messaggio da matthewtrager » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-07-01 13:58, mitchan88 wrote:
<BR>allora, cercherò di essere più prolisso!
<BR>Il principio di discesa infinita è una variante del principio di induzione che permette di affermare che se una successione è debolmente decrescente allora è costante da un certo punto in poi..
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>xo\' guarda che vale solo x gli interi! il passaggio che detto biagio e\' necessario..

Humpty_Dumpty
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Messaggio da Humpty_Dumpty » 01 gen 1970, 01:33

Non vorrei sembrare pedante ma mi è rimasto un forte dubbio: esiste un metodo per risolvere quell\'equazione che non utilizzi il principio della discesa infinita?
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Bye
Chi mi vorra' superare potra' andare in larghezza, ma non in profondita'. (A. Schopenhauer)

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