cerchio tangente

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

una cosina che mi e\' venuta in mente...
 Sono date due rette incidenti e un punto. Costruire con riga e compasso una circonferenza tangente alle due rette e passante per il punto (in realta\' ce ne sono 2). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 27-06-2004 18:37 ]

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

tracciare la bisettrice dell\'angolo fra le due rette che contiene il punto; tracciare la parallela alla bisettrice passante per il punto; tracciare l\'asse del segmento che ha come estremi il punto e l\'intersezione tra la parallela e la prima retta che incontra. l\'intersezione tra l\'ultima rella e la bisettrice è il centro del cerchio cercato. è il primo problema del genere che faccio quindi scusatemi se ho dato la costruzione di cose incostruibili <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Si tratta di un classico problema che si risolve con certe similitudini.
 I centri delle crf. richieste si trovano ovviamente su di una delle due
 bisettrici degli angoli formate dalle due rette r ed s (scegliere l\'una o l\'altra
 di esse dipende dalla posizione del punto P rispetto alle rette).
 Sia allora O l\'intersezione tra r ed s ed OS la bisettrice di quello
 dei due angoli ( tra r ed s) che contiene P. Si prenda su OS un punto O\' qualsiasi ,da cui si tracci la perpendicolare O\'T\' ad r (per es.) e si descriva
 la crf. di centro O\' e raggio O\'T\'.La retta OP tagli tale crf. in M\' ed N\'.
 Si conducano da P le parallele ad O\'M\' ed O\'N\' :tali parallele incontreranno
 OS in C1 E C2 che sono i centri delle due crf. richieste.
 Naturalmente si tratta di operazioni tutte eseguibili con riga e compasso.

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

si\', io l\'ho fatto come karl. ora non vorrei sbagliarmi, ma mi sembra che la sol di masso non vada bene.. credo che quella circonferenza intersechi le rette e non sia tangente (anche perche\' ce ne dovrebbero essere due).
 cmq, un altro molto simile a questo:
 Dati due punti e una retta, trovare, con riga e compasso, il punto sulla retta che forma con gli altri due l\'angolo maggiore.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

matthew, manco a dirlo, il primo si fa anche con l\'inversione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

2° esercizio.
 Se non ho capito male,si tratta di trovare il punto P della
 retta data r dal quale si vede,sotto l\'angolo massimo,
 il segmento formato dai punti dati A e B.
 Se e\' cosi\',allora avrei trovato questa soluzione:
 1)Se A e B stanno da parte opposta rispetto ad r,allora
 P e\' l\'intersezione di AB con r (e l\'angolo massimo e\' 180°)
 2)Se A e B sono dalla stessa parte rispetto ad r,allora
 P e\' il punto di contatto di r con la circonferenza passante
 per A e B e tangente ad r medesima ( in realta\' vi sono due
 di tali crf:una corrispondente ad un massimo ed l\'altra
 ad un minimo).

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Il tuo primo problema si può generalizzare...anzi, è stato generalizzato!!
 Per la precisione di tratta di uno dei problemi di apollonio:
 
 dati nel piano tre \"oggetti\" costruire un quarto \"oggetto\" tangente ai prededenti
 
 dove \"oggetto\" è uno tra \"punto\",\"retta\",\"circonferenza\".
 
 Ad esempio due rette e un punto, una retta due punti, due circonferenze ed un punto, tre circonferenze (caso questo veramente bastardo...8 soluzioni, mi pare).
 
 Quindi matthew, se non hai ancora provato, generalizza, generalizza...è assai interessante!!!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Quasi tutti i problemi indicati si possono risolvere,come del
 resto gia\' indicato da Talpuz,con una opportuna inversione circolare
 (di cui occorre conoscere le proprieta\').
 Esempi.
 1) circolo C passante per un punto P e tangente a due circoli dati C1 e C2.
 Operando una inversione circolare di polo P ,C1 e C2 si trasformano
 in due circoli C\'1 e C\'2 e C in una tangente comune a quest\'ultimi
 (problema questo che e\' piu\' facile da risolvere).Di queste tangenti di norma
 ne esistono 4 (2 interne e due esterne).Operando di nuovo l\'inversione,le
 4 tangenti si trasformano in 4 circoli per P tangenti a C1 e a C2.
 Il problema si semplifica se si prende come potenza dell\'inversione la
 potenza di P rispetto a C1 ( o a C2).
 2)Circolo X passante per 2 punti dati A e B e tangente ad un circolo pure dato C .
 Operando una inversione circolare di polo A (ad es.) e potenza la potenza di
 A rispetto a C,C si muta in se ed X in una retta passante per l\'inverso B1
 di B e tangente a C (problema piu\' facile).
 Di queste tangenti ce ne sono 2 e le loro crf. inverse risolvono il problema
 richiesto.
 Etc,etc.

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-28 15:27, karl wrote:
 ...
 2)Se A e B sono dalla stessa parte rispetto ad r,allora
 P e\' il punto di contatto di r con la circonferenza passante
 per A e B e tangente ad r medesima ( in realta\' vi sono due
 di tali crf:una corrispondente ad un massimo ed l\'altra
 ad un minimo).
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 si\' fin li\' c\'ero arrivato ma non riuscivo a costruire quella circ. ora che avete detto dell\'inversione mi riesce ma in ogni caso volevo trovare una costruzione un po\' piu\' classica...

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

tra l\'altro come mai dici che ci sono 2 circonferenze?? anche al livello intuitivo sembra impossibile. cioe\', con l\'inv. anche a me ne vengono due ma una ha il punto di tangenza che coincide con il centro dell\'inversione e quindi la circ tange la retta all\'infinito. non so, forse intendevi comunque questa...

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Al di la\' dell\'inversione,il cui uso e\' in certi casi piu\'
 concettuale che pratico ( mia personalissima convinzione) ,il
 problema di trovare la crf passante per due punti e
 tangente ad una data retta e\' ( in generale ) sempre di 2° grado:
 basta osservare che,parlando matematicamente,il passaggio
 per 2 punti porta a due condizioni lineari ,mentre la tangenza
 porta ad una condizione di 2° grado.
 Dal punto di vista geometrico si puo\' ragionare cosi:
 sia T il punto di tangenza (da trovare) ;deve essere (teorema della tangente)
 OT^2=OA*OB (O=intersezione di r con AB,casi particolari esclusi)
 Descriviamo la semicirconferenza di diametro OB (suppongo OB>OA,
 altrimenti scambio B con A) e situata da banda opposta di r rispetto ad
 AB;da A conduco la perpendicolare ad OB che incontri la predetta
 semicrf. in T\' .Essendo OT\'^2=OB*OA sara\' OT\'=OT e dunque per avere T
 bastera\' intersecare r con la crf. di centro O e raggio OT\';poiche\' O sta su
 r ,tale cfr tagliera\' r in due punti T1 e T2 e quindi saranno 2 le crf. richieste:
 una per ABT1 ,l\'altra per ABT2.

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

ah, e\' vero hai ragione, scusa.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> un\'ultima domanda... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ... come mai hai detto che questa circonferenza coincide con il minimo (immagino intendessi dell\'angolo)? il minimo non e\' 0?

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Effettivamente la questione del minimo mi lascia perplesso.
 Ho verificato i calcoli in qualche caso particolare[prendendo
 A(-2,0),B(2,0) ,r:y=x+4] e mi trovo risultati analoghi a quelli che
 ho detto.L\'unica cosa che posso pensare e\' che ci si trova di fronte
 ad un minimo locale e che il minimo assoluto si abbia in realta\'
 quando angolo=0°.Vediamo se qualcuno dei tanti cervelloni del Forum
 da\' una mano.

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Ok l\'angolo minimo (=0) si ha sempre buttando \"molto lontano\" un punto su r.
 Prendiamo ora la circonferenza che ha per diametro AB, chiamiamola Gamma.
 
 Caso [A] Gamma e r non si intersecano.
 Siamo sicuri che l\'angolo massimo sarà minore di pi/2. Il nostro obiettivo
 è quindi massimizzare il seno di questo angolo. Prendiamo un punto P
 a caso su r. Quello che vogliamo è dunque MINIMIZZARE il raggio della
 circonferenza circoscritta ad APR. Soluzione: quella già indicata.
 
 Caso Gamma ed r si intersecano.
 L\'angolo massimo potrebbe essere ottuso, di qui viene a cadere la
 monotonia del seno. Vabè, supponiamo però che la soluzione sia
 effettivamente un angolo ottuso, e andiamo allora a rintracciare
 un APR con MASSIMO raggio della circonferenza circoscritta, con la
 condizione però che P cada all\'interno dell\'intersezione tra r e Gamma.
 Da qui in poi, tutto sentiero già battuto.

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

io penso che funzioni cosi\' (escludendo i casi banali):
 chiaramente ci sono tre punti minimi in cui l\'angolo e\' 0: gli infiniti da entrambi le parti della retta e il l\'intersezione con la retta AB. quindi poiche\' la funzione dell\'angolo e\' continua ci devono essere due massimi locali. questi sono i punti di tangenza delle due crf infatti se il massimo appartenesse ad una circonferenza secante, si avrebbe una contraddizione perche\' i punti sul segmento della retta interno alla circonferenza formerebbero un angolo maggiore. tra questi due punti c\'e\' naturalmente un massimo assoluto, che credo sia sempre quello della crf minore.