Pianeti che osservano

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gip
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Messaggio da gip » 01 gen 1970, 01:33

Premessa: senza disegni mi rendo conto che è un casino... se qualche punto non è chiaro non esitate a chiedere...
<BR>
<BR>Dunque, dunque...
<BR>Divido la mia dimostrazione in due passi: prima dimostro che la somma delle superfici in questione non è maggiore di quella di una sfera, e poi che non è minore.
<BR>
<BR>La mia dimostrazione è fatta \"punto per punto\": considero di volta in volta per ciascuna sfera il punto posto ad una determinata \"latitudine e longitudine\" (stessa posizione prendendo come origini dei sist.di rif. i centri di ogni sfera; chiamo questi punti \"corrispondenti\"). Definisco poi \"invisibile\" un punto che non può essere visto da alcuna altra sfera, \"visibile\" un punto non invisibile.
<BR>
<BR>1) Per ottenere il primo risultato dimostro un risultato più generale: se un punto è invisibile su una sfera S, allora risultano visibili i punti corrispondenti su tutte le altre sfere.
<BR>Dim.: se tra S ed una generica sfera F non si interpongono altre sfere, allora si ha che la regione che S vede di F \"corrisponde\" alla regione che F non può vedere di S e viceversa (è intuitivissimo...); di conseguenza un punto che F non vede su S sarà visto da S su F.
<BR>Se invece la traiettoria dello sguardo di S su F interseca un\'altra sfera E, allora si ha che il secondo punto di intersezione tra il raggio e la superficie di E è un valido punto di osservazione per vedere il punto in questione su F.
<BR>(Questo secondo caso si generalizza facilmente a più sfere giacenti tra S ed F).
<BR>Da questo si deduce naturalmente che al massimo possono essere invisibili i punti che coprono la superficie di una sfera, da cui la prima tesi.
<BR>
<BR>2) Dimostriamo ora che per ciascuna \"latitudine e longitudine\" (ossia per ciascuna collocazione di un generico punto P sulla superficie di ciascuna sfera), esiste una sfera per cui il corrispondente a quel punto è invisibile.
<BR>Dim:
<BR>Diamo allo spazio una direzione basso-alto parallela ai segmenti che in ciascuna sfera congiungono il centro al \"corrispondente\" a P. Il verso basso-alto è dal centro al punto. Ora, per ciascuna sfera, il punto \"situato più in alto\" è proprio il corrispondente a P. Prendiamo il \"più alto\" tra questi punti (che chiamiamo P\'; chiamiamo S la sfera che lo contiene) e mostriamo che esso è invisibile. Per fare ciò dividiamo lo spazio in due semispazi determinati dal piano passante per P\' e tangente ad S: per vedere P\' da un altra sfera è necessario porsi nel semispazio che non contiene S, ma ciò è impossibile, perchè significherebbe trovarsi \"più in alto\" rispetto ad S.
<BR>Dunque per ogni posizione sulla superficie è possibile trovare una sfera il cui punto corrispondente sia invisibile -> la somma delle superfici invisibili è maggiore o uguale a quella di una sfera.
<BR>
<BR>Fine (puff... pant... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
<BR>
<BR>Marino

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Allora, la soluzione di gip è <!-- BBCode Start --><I>sostanzialmente</I><!-- BBCode End --> giusta, anche se non proprio il massimo del rigore... Comunque complimenti a gip per essere andato più avanti degli altri!
<BR>
<BR>Riscrivo brevemente qui sotto la soluzione di gip, sbrogliando qualche passaggio e sistemando i dettagli:
<BR>
<BR>- Il fatto che un punto di una sfera sia invisibile da tutte le altre è equivalente al fatto che il piano tangente alla sfera in quel punto lasci tutte le sfere da una sola parte dello spazio.
<BR>
<BR>- Per ogni direzione, esiste uno ed un solo piano ortogonale ad essa che è tangente ad una sfera e le lascia tutte dalla stessa parte dello spazio (siccome le sfere sono in numero finito).
<BR>
<BR>- Il problema è che questo piano può essere tangente a più di una sfera. Ma in tal caso i punti di tangenza fanno parte del bordo della zona invisibile delle sfere, che ha misura nulla, e perciò possiamo scegliere uno qualunque di tali punti.
<BR>
<BR>- Risultato: ogni sfera ha una porzione invisibile misurabile (perchè intersezione di semisfere, a meno del bordo), e traslando tutte queste porzioni si ottiene una sfera.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 09-07-2004 16:28 ]

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