Pianeti che osservano

gip · Messaggio da **gip** » 01 gen 1970, 01:33

Premessa: senza disegni mi rendo conto che è un casino... se qualche punto non è chiaro non esitate a chiedere...
 
 Dunque, dunque...
 Divido la mia dimostrazione in due passi: prima dimostro che la somma delle superfici in questione non è maggiore di quella di una sfera, e poi che non è minore.
 
 La mia dimostrazione è fatta \"punto per punto\": considero di volta in volta per ciascuna sfera il punto posto ad una determinata \"latitudine e longitudine\" (stessa posizione prendendo come origini dei sist.di rif. i centri di ogni sfera; chiamo questi punti \"corrispondenti\"). Definisco poi \"invisibile\" un punto che non può essere visto da alcuna altra sfera, \"visibile\" un punto non invisibile.
 
 1) Per ottenere il primo risultato dimostro un risultato più generale: se un punto è invisibile su una sfera S, allora risultano visibili i punti corrispondenti su tutte le altre sfere.
 Dim.: se tra S ed una generica sfera F non si interpongono altre sfere, allora si ha che la regione che S vede di F \"corrisponde\" alla regione che F non può vedere di S e viceversa (è intuitivissimo...); di conseguenza un punto che F non vede su S sarà visto da S su F.
 Se invece la traiettoria dello sguardo di S su F interseca un\'altra sfera E, allora si ha che il secondo punto di intersezione tra il raggio e la superficie di E è un valido punto di osservazione per vedere il punto in questione su F.
 (Questo secondo caso si generalizza facilmente a più sfere giacenti tra S ed F).
 Da questo si deduce naturalmente che al massimo possono essere invisibili i punti che coprono la superficie di una sfera, da cui la prima tesi.
 
 2) Dimostriamo ora che per ciascuna \"latitudine e longitudine\" (ossia per ciascuna collocazione di un generico punto P sulla superficie di ciascuna sfera), esiste una sfera per cui il corrispondente a quel punto è invisibile.
 Dim:
 Diamo allo spazio una direzione basso-alto parallela ai segmenti che in ciascuna sfera congiungono il centro al \"corrispondente\" a P. Il verso basso-alto è dal centro al punto. Ora, per ciascuna sfera, il punto \"situato più in alto\" è proprio il corrispondente a P. Prendiamo il \"più alto\" tra questi punti (che chiamiamo P\'; chiamiamo S la sfera che lo contiene) e mostriamo che esso è invisibile. Per fare ciò dividiamo lo spazio in due semispazi determinati dal piano passante per P\' e tangente ad S: per vedere P\' da un altra sfera è necessario porsi nel semispazio che non contiene S, ma ciò è impossibile, perchè significherebbe trovarsi \"più in alto\" rispetto ad S.
 Dunque per ogni posizione sulla superficie è possibile trovare una sfera il cui punto corrispondente sia invisibile -> la somma delle superfici invisibili è maggiore o uguale a quella di una sfera.
 
 Fine (puff... pant... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )
 
 Marino

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Allora, la soluzione di gip è sostanzialmente giusta, anche se non proprio il massimo del rigore... Comunque complimenti a gip per essere andato più avanti degli altri!
 
 Riscrivo brevemente qui sotto la soluzione di gip, sbrogliando qualche passaggio e sistemando i dettagli:
 
 - Il fatto che un punto di una sfera sia invisibile da tutte le altre è equivalente al fatto che il piano tangente alla sfera in quel punto lasci tutte le sfere da una sola parte dello spazio.
 
 - Per ogni direzione, esiste uno ed un solo piano ortogonale ad essa che è tangente ad una sfera e le lascia tutte dalla stessa parte dello spazio (siccome le sfere sono in numero finito).
 
 - Il problema è che questo piano può essere tangente a più di una sfera. Ma in tal caso i punti di tangenza fanno parte del bordo della zona invisibile delle sfere, che ha misura nulla, e perciò possiamo scegliere uno qualunque di tali punti.
 
 - Risultato: ogni sfera ha una porzione invisibile misurabile (perchè intersezione di semisfere, a meno del bordo), e traslando tutte queste porzioni si ottiene una sfera. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 09-07-2004 16:28 ]