OliForum Matematico

Ciao a tutti, io sono nuovo di questo forum e spero che ci troveremo bene insieme.
 Come primo post (ma ce ne saranno altri!), vi propongo due problemi, per molti di voi sicuramente facilissimi, ma di cui io non riesco a venire a capo:
 
 PROBLEMA 1.
 
 Un imprenditore deve trasportare una certa quantità (q tonnellate) di merce fra due località. Per far questo, gli si presentano tre possibilità:
 -ricorrere a una compagnia di autotrasporti, che applica un prezzo in milioni di lire pari a 2x (x=quantità di merce trasportata)
 -ricorrere al trasporto marittimo, il cui prezzo in milioni è dato da 1+(x^2)/3 (x=quantità di merce trasportata)
 -ricorrere a una strategia mista, cioè spedire parte della merce via terra e parte via mare.
 Si determini il prezzo minimo del trasporto in funzione di q.
 
 PROBLEMA 2.
 
 Sia n un intero positivo fissato. Lo si scriva come somma di due interi positivi n1 e n2 e si consideri il prodotto n1xn2.
 Si scrivano poi n1 come somma di due interi positivi n11 e n12, n2 come somma di due interi positivi n21 e n22 e si considerino i prodotti n11xn12 e n21xn22.
 Si prosegua così, operando \"in cascata\" e continuando, in ogni ramo, finchè non si ottiene 1.
 Dimostrare che la somma di tutti i prodotti ottenuti dipende solo da n e se ne dia un\'espressione esplicita.
 
 Grazie a chi mi risponderà!
 
 Stefano
 
 P.S.: per Lordgauss: credo tu abbia capito chi sono...sorpreso?!?!?!?! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: TastieristaBiondo il 08-06-2004 22:17 ]

per il problema 1:
 
 dunque, abbiamo \"m\" tonnellate trasportate via mare ed \"a\" autotrasportate.
 quindi m + a = q.
 
 Poi abbiamo la funzione:
 f(a,m) = 2a + 1+(m^2)/3
 che rappresenta il costo per ogni accoppiata (a,m)
 
 si sostituisce una delle due incognite, m=a-q
 ottenendo
 f(a) = 2a + 1 + ((a-q)^2)/3 = 1/3 * (a^2 +2a(3-q) + q^2 +3)
 
 derivando:
 f\'(a) = 2/3* (a +3-q) e f\'\'(a) = 2/3
 
 f quindi ha un minimo quando a+3-q=0 cioè quando a=q-3, ovvero quando m=3
 
 (lo stesso risultato si poteva ottenere, con meno passaggi, sostituendo ad \"a\" il valore q-m. Viene sempre una parabola, ma questa volta traslata sulle y (la funzione è: f(m) = 1/3*m^2-2m+1+q, anch\'essa con un minimo in m=3)
 
 (sinceramente mi sembra strano che, sempre e comunque, il prezzo minimo si ottenga quando 3 tonnellate di merce viene portata via mare... a meno che io non abbia sbagliato qualche conto...)
 
 ciao
 R,

se m+a=q, allora m=q-a...

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-08 22:16, TastieristaBiondo wrote:
 Sia n un intero positivo fissato. Lo si scriva come somma di due interi positivi n1 e n2 e si consideri il prodotto n1xn2.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Come li prendi questi due numeri, uguali????? Se puoi prenderli diversi come fai a operare \"a cascata\" scegliendo ad un certo punto 1+(n-1), 1 non è scomponibile come somma di interi positivi.

Il testo non specificava se i due numeri debbano essere uguali o diversi! Ma comunque, che quando si arriva all\'1 ci si deve arrestare!
 
 P.S.: qui tra gli iscritti c\'è qualcuno che frequenta la Sant\'Anna di Pisa? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: TastieristaBiondo il 09-06-2004 11:52 ]

albatr0s83

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-08 23:46, RandagornIV wrote:
 (sinceramente mi sembra strano che, sempre e comunque, il prezzo minimo si ottenga quando 3 tonnellate di merce viene portata via mare... a meno che io non abbia sbagliato qualche conto...)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>Ho fatto un po\' di conti anch\'io, ma effettivamente q resta come termine noto, e quindi non influisce sul punto di minimo della parabola (ma ovviamente influisce sul costo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
 
 Però manca una parte alla tua dimostrazione. Cosa succede se le tonnellate da trasportare sono meno di 3? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Rispondo al secondo problema in un modo un pò furbino.
 Se esiste una soluzione, questa deve per forza rispettare:
 f(n)=f(n-1)+(n-1)
 Infatti basterebbe prendere come primi termini 1 ed (n-1).
 Ora analizzando bene la funzionale sopra e ricordando la formula per i primi n interi si ottiene:
 
 f(n)=(n-1)*n/2
 
 Verifichiamo per induzione che in effetti questa funzione rispetta il tutto.
 Ammettiamo che la tesi valga per tutti gli x minori di n. Dobbiamo dimostrare la tesi per n. I primi due numeri sono z ed (n-z). Essi sono sicramente inferiori ad n e possiamo per ipotesi induttiva applicare la formula:
 
 (z-1)*z/2+(n-z-1)*(n-z)/2+z*(n-z)
 
 il risultato di questa epressione è indipendente da z e pari a n(n-1)/2, cioè f(n) e quindi concludiamo. Ciaooo [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-06-2004 18:47 ]

Ciao TastieristaBiondo e complimenti per il il tuo nickname che mi ricorda un mio simpatico amico. Nell\'ultimo tuo messaggio chiedevi di un allievo della Sant\'Anna : ebbene eccomi qui ! Ho ottimi motivi per credere che tu sia intenzionato a tentare il concorso..permettimi dunque un consiglio diciamo \"di fondo\" : tieni presente che problemi tipo quelli da te proposti venivano assegnati dieci o più anni fa,quando il numero di candidati era relativamente basso. Ora non è più così <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">gni anno ci sono circa 400 partecipanti per Ingegneria e quindi il livello di difficoltà degli esercizi è decisamente più elevato. Al di là di una ovvia differenza di base, direi che ti conviene impostare la preparazione sugli standard dei problemi d\'accesso alla Scuola Normale od almeno ai più accessibili tra questi..anche perchè la commissione di matematica lo scorso anno era composta da Gobbino,Forti,Franzoni..
 In ogni caso buona fortuna !

Mah...sicuramente sarai più informato di me. Ma sei sicuro che il livello sia molto più elevato? Capisco che questi due problemi nn fossero complicati, ma da qui a spaventare TastieristaBiondo così ne passa.... alcuni test d\'ingresso della normale degli ultimi anni (ho preso il libro) nn erano poi così più difficili....
 A parte questo, dove si possono trovare i test d\'ingresso del sant\'anna on-line?

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-09 21:01, info wrote:
 A parte questo, dove si possono trovare i test d\'ingresso del sant\'anna on-line?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Prova a guardare <a href=\"http://web1.sssup.it/bandi/ordinari/sup ... .pdf\">qui </a>
 Ciao!
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Shoma85 il 09-06-2004 23:15 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Shoma85 il 10-06-2004 00:28 ]

Per risponderti ,info: direi proprio che lo scopo del mio messaggio non era certo spaventare TastieristaBiondo ! Fatto salvo l\'ovvio principio in base al quale la difficoltà di un problema ( specialmente di matematica ) non può essere misurata in termini oggettivi ed univoci credo di aver parlato con sufficiente cognizione di causa,anche perchè la stessa composizione della commissione di concorso è un dato insindacabile..
 Quanto alla seconda domanda che mi poni : vedo che c\'è già qualcuno che ha provveduto a fornirti il link richiesto. Anche qui però va detto che quei problemi sono stati assegnati diversi anni fa,poichè il documento che trovi in rete non viene aggiornato credo dal 2000. Un saluto cordiale

Ciao a tutti, vale ancora quello che scrissi qua: <a href="http://olimpiadi.sns.it/modules.php?op= ... 1&start=20" target="_blank" target="_new">http://olimpiadi.sns.it/modules.php?op= ... tart=20</a> , salvo il fatto che il nuovo sito è ora un po\' piu\' aggiornato. By the way, proprio due giorni fa è stato pubblicato il bando.
 
 Marino

Grazie gip ora vado a vedere. Inoltre, Shoma, ma hai un link per tutto? Grazie! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 @NicolasBourbaki: credo in ciò che dici per fiducia ma nn per le motivazioni: sinceramente anche se ci fosse stato Gauss nella commissione d\'esame questo nn mi avrebbe convinto sulla difficoltà dei problemi (forse questo è dovuto al fatto che nn conosco nè Gauss nè i signori da tè citati);
 Ciao

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-09 10:22, colony wrote:
 se m+a=q, allora m=q-a...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 stupidi segni... hehhehe...
 cmq m è al quadrato, quindi non dovrebbe cambiare se sostituisco a \"m\" \"-m\".

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