Un bel po\' di problemi...
Moderatore: tutor
- mens-insana
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Ciao a tutti...
<BR>Da questo post in poi avevo intenzione di postare 3 problemi di volta in volta...il livello non è per niente difficilissimo...anzi...cmq iniziamo:
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>1) Quanti quadrati perfetti appartengono alla successione 1, 11, 111, ...?
<BR>
<BR>2) Sia n un numero naturale. 5n + 2 può essere il quadrato di un numero naturale?
<BR>
<BR>3) Dimostrare che: (a + b)<sup>4</sup> <= 8(a<sup>4</sup> + b<sup>4</sup>)
<BR></font>[addsig]
<BR>Da questo post in poi avevo intenzione di postare 3 problemi di volta in volta...il livello non è per niente difficilissimo...anzi...cmq iniziamo:
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>1) Quanti quadrati perfetti appartengono alla successione 1, 11, 111, ...?
<BR>
<BR>2) Sia n un numero naturale. 5n + 2 può essere il quadrato di un numero naturale?
<BR>
<BR>3) Dimostrare che: (a + b)<sup>4</sup> <= 8(a<sup>4</sup> + b<sup>4</sup>)
<BR></font>[addsig]
<b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b>
- mens-insana
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Vedo che avete fatto in fretta....ve ne do altri 3:
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>4) Vi trovate in uno spazio a più di 3 dimensioni, del quale sapete che per raddoppiare il volume di un solido (ipercubo, ipersfera, ....) è necessario aumentare le misure di lunghezza (lato, raggio, ....) del 10% circa. Trovare il numero di dimensioni in cui vi trovate.
<BR>
<BR>5) Dimostrare che la sommadei reciproci dei numeri triangolari vale 2.
<BR>
<BR>6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
<BR></font>[addsig]
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>4) Vi trovate in uno spazio a più di 3 dimensioni, del quale sapete che per raddoppiare il volume di un solido (ipercubo, ipersfera, ....) è necessario aumentare le misure di lunghezza (lato, raggio, ....) del 10% circa. Trovare il numero di dimensioni in cui vi trovate.
<BR>
<BR>5) Dimostrare che la sommadei reciproci dei numeri triangolari vale 2.
<BR>
<BR>6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
<BR></font>[addsig]
<b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b>
4)si deve avere che (11/10)<sup>n</sup>=2 da cui n=log<sub>11/10</sub>2 e poi si approssima al numero intero più vicino
<BR>5)sum(i=1---+inf)(2/(i(i+1))=2*sum(i=1--->+inf)(1/(i(i+1)) = 2*sum(i=1--->+inf)(1/i - 1/(i+1)) poi si telescopizza e diventa semplicemente
<BR>2*(1/1-1/(i+1)) per i che tende a +inf. e cioè 2
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 25-05-2004 11:34 ]
<BR>5)sum(i=1---+inf)(2/(i(i+1))=2*sum(i=1--->+inf)(1/(i(i+1)) = 2*sum(i=1--->+inf)(1/i - 1/(i+1)) poi si telescopizza e diventa semplicemente
<BR>2*(1/1-1/(i+1)) per i che tende a +inf. e cioè 2
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 25-05-2004 11:34 ]
Mi sorprende che il vecchio Biagio non lo abbia fatto, forse ho sbagliato.
<BR><!-- BBCode Start --><B>Come al solito, chiedo umilmente ad Antimateria di darci un occhio.</B><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per il teorema di Fermat (o forse Euler-Fermat)
<BR>a^(phi(n)==1 (mod n)
<BR>se a è coprimo a p
<BR>
<BR>quindi
<BR>
<BR>3^720==1 (mod 2002)
<BR>essendo phi(2002)=720
<BR>
<BR>quindi
<BR>
<BR>3^720-3^0==0 (mod 2002) c.v.d.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 25-05-2004 13:22 ]
<BR><!-- BBCode Start --><B>Come al solito, chiedo umilmente ad Antimateria di darci un occhio.</B><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Per il teorema di Fermat (o forse Euler-Fermat)
<BR>a^(phi(n)==1 (mod n)
<BR>se a è coprimo a p
<BR>
<BR>quindi
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<BR>3^720==1 (mod 2002)
<BR>essendo phi(2002)=720
<BR>
<BR>quindi
<BR>
<BR>3^720-3^0==0 (mod 2002) c.v.d.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 25-05-2004 13:22 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
- mens-insana
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Bene bene...allora non mi resta che darne altri 3:
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>7) Dire se esiste un poliedro convesso con 101 facce, ciascuna delle quali è un poligono di 3, 5, 7 lati.
<BR>
<BR>8) Dimostrare che esistono potenze intere di 29 che terminano in 001.
<BR>
<BR>9) Supponiamo che ciascun punto del piano sia colorato in rosso o in blu. Dimostrare che esiste almeno un rettangolo che ha tutti i vertici dello stesso colore. In un piano siffatto esiste sempre almeno un n-agono regolare monocromo?
<BR></font>
<BR>
<BR><b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: mens-insana il 25-05-2004 13:45 ]
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>7) Dire se esiste un poliedro convesso con 101 facce, ciascuna delle quali è un poligono di 3, 5, 7 lati.
<BR>
<BR>8) Dimostrare che esistono potenze intere di 29 che terminano in 001.
<BR>
<BR>9) Supponiamo che ciascun punto del piano sia colorato in rosso o in blu. Dimostrare che esiste almeno un rettangolo che ha tutti i vertici dello stesso colore. In un piano siffatto esiste sempre almeno un n-agono regolare monocromo?
<BR></font>
<BR>
<BR><b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: mens-insana il 25-05-2004 13:45 ]
<b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b>
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-25 13:13, Boll wrote:
<BR>Mi sorprende che il vecchio Biagio non lo abbia fatto, forse ho sbagliato.
<BR><!-- BBCode Start --><B>Come al solito, chiedo umilmente ad Antimateria di darci un occhio.</B><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Per il teorema di Fermat (o forse Euler-Fermat)
<BR>...................
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, ok, ma perche\' scomodare Euler-Fermat quando basta il pigeonhole? Hai 2002 classi di congruenza, quindi qualunque insieme di 2003 potenze di 3 contiene 2 elementi nella stessa classe.[addsig]
<BR>On 2004-05-25 13:13, Boll wrote:
<BR>Mi sorprende che il vecchio Biagio non lo abbia fatto, forse ho sbagliato.
<BR><!-- BBCode Start --><B>Come al solito, chiedo umilmente ad Antimateria di darci un occhio.</B><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Per il teorema di Fermat (o forse Euler-Fermat)
<BR>...................
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Beh, ok, ma perche\' scomodare Euler-Fermat quando basta il pigeonhole? Hai 2002 classi di congruenza, quindi qualunque insieme di 2003 potenze di 3 contiene 2 elementi nella stessa classe.[addsig]
- mens-insana
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Ciao Boll per il 9) si mi pare giusto il tuo procedimento...cmq un metodo molto più veloce era il principio della piccionaia...considerando i punti di intersezione di tre rette parallele tra loro, con altre tre rette parallele tra loro e perpendicolari alle prime.
<BR>
<BR>Cmq non ho capito come fai a dire che non esiste l\'n-agono, dicendo di considerare rette parallele di colore alternato....
<BR>
<BR>Cmq non ho capito come fai a dire che non esiste l\'n-agono, dicendo di considerare rette parallele di colore alternato....
<b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b>
-
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Bene via con altri 3:
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>10) Dato un esagono convesso ABCDEF con gli angoli uguali, dimostrare che AB - DE = EF - BC = CD - FA.
<BR>
<BR>11)E\' vero che in un triangolo rettangolo la bisettrice dell\'angolo retto taglia il quadrato costruito sull\'ipotenusa in due trapezi congruenti?
<BR>
<BR>12) Sia dato un quadrato Q con lato di lunghezza l. Si considerino le coppie di cerchi C_1 e C_2 contenuti in Q e privi di punti interni in comune. Determinare C_1 e C_2 in modo che la somma delle loro aree sia massima.
<BR></font>
<BR>
<BR>A proposito...per favore mi potete dare un chiarimento per la storia dell\'n-agono monocromo?...[addsig]
<BR>
<BR><font color=\"blue\">
<BR>10) Dato un esagono convesso ABCDEF con gli angoli uguali, dimostrare che AB - DE = EF - BC = CD - FA.
<BR>
<BR>11)E\' vero che in un triangolo rettangolo la bisettrice dell\'angolo retto taglia il quadrato costruito sull\'ipotenusa in due trapezi congruenti?
<BR>
<BR>12) Sia dato un quadrato Q con lato di lunghezza l. Si considerino le coppie di cerchi C_1 e C_2 contenuti in Q e privi di punti interni in comune. Determinare C_1 e C_2 in modo che la somma delle loro aree sia massima.
<BR></font>
<BR>
<BR>A proposito...per favore mi potete dare un chiarimento per la storia dell\'n-agono monocromo?...[addsig]
<b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b>
oppure
<BR>
<BR>6)
<BR>
<BR>lemma (noto) : in ogni grafo il numero di vertici di valenza dispari è pari
<BR>
<BR>consideriamo il grafo che ha vertici corrispondenti alle facce del poliedro, e in cui due vertici sono collegati se le facce corrispondenti sono adiacenti.
<BR>in tale grafo si avrebbe un numero dispari (101) di vertici con valenza dispari (perchè ognuna delle facce è adiacente a 3, 5 o 7 facce), assurdo per il lemma
<BR>
<BR>6)
<BR>
<BR>lemma (noto) : in ogni grafo il numero di vertici di valenza dispari è pari
<BR>
<BR>consideriamo il grafo che ha vertici corrispondenti alle facce del poliedro, e in cui due vertici sono collegati se le facce corrispondenti sono adiacenti.
<BR>in tale grafo si avrebbe un numero dispari (101) di vertici con valenza dispari (perchè ognuna delle facce è adiacente a 3, 5 o 7 facce), assurdo per il lemma
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