Un bel po\' di problemi...

mens-insana · Messaggio da **mens-insana** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti...
 Da questo post in poi avevo intenzione di postare 3 problemi di volta in volta...il livello non è per niente difficilissimo...anzi...cmq iniziamo:
 
 
 1) Quanti quadrati perfetti appartengono alla successione 1, 11, 111, ...?
 
 2) Sia n un numero naturale. 5n + 2 può essere il quadrato di un numero naturale?
 
 3) Dimostrare che: (a + b)4 <= 8(a4 + b4)
 [addsig]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

1)nessuno, dall\'11 in poi sono tutti congrui a 3 mod4
 ma 3 non è un residuo quadratico di 4
 2)2 non è un residuo quadratico mod 5, quindi nessuno
 3)si divide per 16 e si estrae la radice quarta:diventa il confronto tra media aritmetica e media quarta(come cacchio si dice?)

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti!
 
 Per il 2 la risposta è no! Infatti 5n+2==2mod(5) dunque se un tale quadrato esistesse dovrebbe avere come cifra delle unità o 2 o 7 ma questo è assurdo in quanto le possibili cifre sono solo 0,1,4,5,6,9.

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

D\'oh dannato Biagio!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Oppure per il 3°:
 
 sqrt((a^4+b^4)/2)>=(a^2+b^2)/2>=((a+b)/2)^2
 
 dove la prima e la seconda disug sono ottenute da M.Q>=M.A
 dunque abbiamo sqrt((a^4+b^4)/2)>=((a+b)/2)^2 che è la tesi.
 
 
 Ciao

mens-insana · Messaggio da **mens-insana** » 01 gen 1970, 01:33

Vedo che avete fatto in fretta....ve ne do altri 3:
 
 
 4) Vi trovate in uno spazio a più di 3 dimensioni, del quale sapete che per raddoppiare il volume di un solido (ipercubo, ipersfera, ....) è necessario aumentare le misure di lunghezza (lato, raggio, ....) del 10% circa. Trovare il numero di dimensioni in cui vi trovate.
 
 5) Dimostrare che la sommadei reciproci dei numeri triangolari vale 2.
 
 6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
 [addsig]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

4)si deve avere che (11/10)n=2 da cui n=log11/102 e poi si approssima al numero intero più vicino
 5)sum(i=1---+inf)(2/(i(i+1))=2*sum(i=1--->+inf)(1/(i(i+1)) = 2*sum(i=1--->+inf)(1/i - 1/(i+1)) poi si telescopizza e diventa semplicemente
 2*(1/1-1/(i+1)) per i che tende a +inf. e cioè 2
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 25-05-2004 11:34 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Mi sorprende che il vecchio Biagio non lo abbia fatto, forse ho sbagliato.
 Come al solito, chiedo umilmente ad Antimateria di darci un occhio. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per il teorema di Fermat (o forse Euler-Fermat)
 a^(phi(n)==1 (mod n)
 se a è coprimo a p
 
 quindi
 
 3^720==1 (mod 2002)
 essendo phi(2002)=720
 
 quindi
 
 3^720-3^0==0 (mod 2002) c.v.d.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 25-05-2004 13:22 ]

mens-insana · Messaggio da **mens-insana** » 01 gen 1970, 01:33

Bene bene...allora non mi resta che darne altri 3:
 
 
 7) Dire se esiste un poliedro convesso con 101 facce, ciascuna delle quali è un poligono di 3, 5, 7 lati.
 
 8) Dimostrare che esistono potenze intere di 29 che terminano in 001.
 
 9) Supponiamo che ciascun punto del piano sia colorato in rosso o in blu. Dimostrare che esiste almeno un rettangolo che ha tutti i vertici dello stesso colore. In un piano siffatto esiste sempre almeno un n-agono regolare monocromo?
 
 
 Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. Piet Hein [ Questo Messaggio è stato Modificato da: mens-insana il 25-05-2004 13:45 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

8 ) risolvo questo per dire a boll che so usare la phi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 29^(phi(1000))==1 mod 1000 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 25-05-2004 14:49 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-25 13:13, Boll wrote:
 Mi sorprende che il vecchio Biagio non lo abbia fatto, forse ho sbagliato.
 Come al solito, chiedo umilmente ad Antimateria di darci un occhio. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 6) Esistono potenze di 3 la cui differenza sia divisibile per 2002?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Per il teorema di Fermat (o forse Euler-Fermat)
 ...................
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Beh, ok, ma perche\' scomodare Euler-Fermat quando basta il pigeonhole? Hai 2002 classi di congruenza, quindi qualunque insieme di 2003 potenze di 3 contiene 2 elementi nella stessa classe.[addsig]

mens-insana · Messaggio da **mens-insana** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Boll per il 9) si mi pare giusto il tuo procedimento...cmq un metodo molto più veloce era il principio della piccionaia...considerando i punti di intersezione di tre rette parallele tra loro, con altre tre rette parallele tra loro e perpendicolari alle prime.
 
 Cmq non ho capito come fai a dire che non esiste l\'n-agono, dicendo di considerare rette parallele di colore alternato....

matthewtrager · Messaggio da **matthewtrager** » 01 gen 1970, 01:33

6) detti a b c le facce con rispettivamente 3 5 7 lati abbiamo
 
 3a+5b+7c=2s dove s e\' il numero degli spigoli
 (ogni spigolo e\' l\'intersezione di due facce)
 a+b+c=101
 
 sottraendo abbiamo 2a+4b+6c= 2s-101. impossibile

mens-insana · Messaggio da **mens-insana** » 01 gen 1970, 01:33

Bene via con altri 3:
 
 
 10) Dato un esagono convesso ABCDEF con gli angoli uguali, dimostrare che AB - DE = EF - BC = CD - FA.
 
 11)E\' vero che in un triangolo rettangolo la bisettrice dell\'angolo retto taglia il quadrato costruito sull\'ipotenusa in due trapezi congruenti?
 
 12) Sia dato un quadrato Q con lato di lunghezza l. Si considerino le coppie di cerchi C_1 e C_2 contenuti in Q e privi di punti interni in comune. Determinare C_1 e C_2 in modo che la somma delle loro aree sia massima.
 
 
 A proposito...per favore mi potete dare un chiarimento per la storia dell\'n-agono monocromo?...[addsig]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

oppure
 
 6)
 
 lemma (noto) : in ogni grafo il numero di vertici di valenza dispari è pari
 
 consideriamo il grafo che ha vertici corrispondenti alle facce del poliedro, e in cui due vertici sono collegati se le facce corrispondenti sono adiacenti.
 in tale grafo si avrebbe un numero dispari (101) di vertici con valenza dispari (perchè ognuna delle facce è adiacente a 3, 5 o 7 facce), assurdo per il lemma