Quesito normale

Micol · Messaggio da **Micol** » 01 gen 1970, 01:33

1. Dire se esiste un multiplo di 2002 la cui somma delle cifre siua esattamente 2002.
 
 (ammissione alla normale, 2002)

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

2002*5=10010
 
 La somma delle cifre di 10010 è 2, quindi mettendo in fila 1001 volte il numero 10010 otterremo un numero che ha somma cifre 2002, resta da dimostrare che esso sia multiplo di 2002.
 
 Questo numero è dato dalla somma:
 10010+(10^5*10010)+(10^10*10010)+...+(10^5000*10010)
 che, raccogliendo il 10010 è:
 10010*(1+10^5+10^10+...+10^5000)
 quindi
 2002*5*(1+10^5+10^10+...+10^5000), che è
 un multiplo di 2002, c.v.d
 
 Conclusione: Esiste un multiplo di 2002 con somma cifre 2002.
 
 Se qualcuno, tipo Antimateria, ha voglia di correggerlo, lo prego di farlo. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 19-05-2004 13:41 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-19 12:02, Boll wrote:
 Se qualcuno, tipo Antimateria, ha voglia di corregerlo, lo prego di farlo.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Lol... Tutto giusto, e mi pare che una delle soluzioni ufficiali fosse identica.
 Grande! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Finalmente il mio smanettamento algebrico ha funzionato.
 
 Thank you very much, Mind. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Micol · Messaggio da **Micol** » 01 gen 1970, 01:33

Sapete se esista una soluzione piu\' \"tecnica\", magari che faccia riferimento al criterio di divisibilita\' di un numero per 2002, tramite congruenze?

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Quest\'ultima cosa mi pare folle. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Come fai a ricercare il criterio di divisibilità di un numero non coprimo a 10? Magari si può, io non lo so fare. Credo che comunque ci sia unìaltra soluzione, ma non so trovarla. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Micol · Messaggio da **Micol** » 01 gen 1970, 01:33

scusate l\'ignoranza ma perke\' e\' importante che un numero sia coprimo a 10 per trovarne il criterio di divisibilita\'?
 Grazie

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

se proprio vuoi usare le congruenze ti consiglio di trovare un multiplo di 1001 la cui somma delle cifre da 2002, poi ponendo questo numero pari, ottieni la soluzione del tuo problema. (PS: 1001=7*11*13 10=2*5)

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

Ho trovato una cosa abbastanza interessante ma non so se è vera:
 dimostrare che se MCD(p,q)=1 e p==1 mod(q) allora esiste una potenza di q congrua ad 1 modulo p

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-20 22:46, MASSO wrote:
 Ho trovato una cosa abbastanza interessante ma non so se è vera:
 dimostrare che se MCD(p,q)=1 e p==1 mod(q) allora esiste una potenza di q congrua ad 1 modulo p
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 E\' vero, ed e\' noto come teorema di Fermat-Eulero.
 Nota pero\' che l\'ipotesi p==1 mod(q) e\' superflua (ed oltretutto implica gia\' MCD(p,q)=1), e che una delle potenze di q congrue a 1 modulo p e\' phi(p), ovvero il numero di interi positivi k<p tali che MCD(k,p)=1.