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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

1. Do there exist 100 lines in the plane, no three concurrent, such that they intersect in exactly 2002 points?
<BR>
<BR>2. D is a point on the side AB of the triangle ABC such that AB = 4·AD. P is a point on the circumcircle such that angle ADP = angle C. Show that PB = 2·PD.
<BR> <!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.kalva.demon.co.uk/bmo/bsoln/diag032.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>3. x, y are positive reals such that x + y = 2. Show that x<sup>3</sup>y<sup>3</sup>(x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup>) ≤ 2
<BR>
<BR>4. Find all integer solutions to m<sup>2</sup> + 2m = n<sup>4</sup> + 20n<sup>3</sup> + 104n<sup>2</sup> + 40n + 2003
<BR>
<BR>5. Show that there do not exist positive integers m, n such that m/n+(n+1)/m=4<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 15-05-2004 19:59 ]

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

1) Si suddividano le 100 rette in n gruppi, in modo tale che due rette dello stesso gruppo abbiano stessa direzione e rette di gruppi diversi abbiamo direzioni diverse. Sia a(k) la cardinalità del gruppo k. E\' allora evidente che il numero totale di intersezioni è
<BR>sum a(i)*(100-a(i))/2 = [100(sum a(i)) - sum a(i)²]/2 = 5000 - sum a(i)²/2.
<BR>La richiesta del testo è soddisfatta se e solo l\'equazione 5000 - sum a(i)²/2 = 2002 con sum a(i) = 100 ammette soluzioni intere positive.
<BR>E\' facile vedere che essa ne ammette molte, ex a(1) = 77, a(2) = 2, a(3) = ... = a(9) = 3
<BR>
<BR>2) Sia AD=a, < BCA = y, < DPB = w, sia t = siny/sin(y-w)
<BR>Allora < APB = y (insiste sull\'arco AB) e per sottrazione < APD = y-w.
<BR>Per il teorema dei seni allora PA/siny = a/sin(y-w) da cui t = PA/a (1).
<BR>Si consideri ora il triangolo APB. Con la posizione AB = 4a, sempre per il teorema dei seni si ha 4a/siny = PA/sin(y-w) da cui 1/t = PA/4a.
<BR>Per (1) si ha t = 4/t da cui 2 = t = PA/a.
<BR>Si osservi ora che per similitudine tra APB e APD si ha PB : PD = PA : a, ovvero PB = 2PD.
<BR>
<BR>3) Sia p = xy. Allora per AM-GM p <= 2. Riscrivendo LHS tenendo conto che x+y = 2 si ha che la relazione da provare diviene p³(8-6p) <= 2. Chi non volesse derivare potrebbe porre p = 1-k, con 0 <= k <= 1, ottenendo
<BR>(1-3k+3k²-k³)(2-6k) <= (1-k³)(2-6k) <= 2 sempre, ove si è usato il fatto che
<BR>k² <= k.
<BR>
<BR>4) Piuttosto faccio le spugnature ad un barbone

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Due piccole precisazioni al terzo esercizio.
<BR>a)sqrt(xy)<(x+y)/2=1--->xy<=1
<BR>b)se si vuole evitare la derivazione si puo\' anche considerare
<BR>la funzione di p : f(p)=6(p)<sup>3</sup>(4/3-p) .Ora, poiche\'
<BR>risulta p>0,4/3-p>0 ed inoltre p+4/3-p=4/3=costante, per una nota
<BR>regola elementare il massimo si ottiene quando:
<BR>p/3=4/3-p da cui p=1 e f(1) =2 e quindi f(p)<=2
<BR>per p in ]0,1].
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-05-2004 19:15 ]

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Diciamo che la \"nota regola elementare\" è un\'applicazione furba dell\'AM-GM. Mssimizzare p³(n-p) equivale a massimizzare 27(p/3)(p/3)(p/3)(n-p). A questo punto la somma dei fattori è costante, via libera.
<BR>Ho letto la prima volta questa furbata sulla mitica dispensa manoscritta del Conti \"massimi e minimi\". Era un grande.

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-15 19:28, lordgauss wrote:
<BR>Diciamo che la \"nota regola elementare\" è un\'applicazione furba dell\'AM-GM. Mssimizzare p³(n-p) equivale a massimizzare 27(p/3)(p/3)(p/3)(n-p). A questo punto la somma dei fattori è costante, via libera.
<BR>Ho letto la prima volta questa furbata sulla mitica dispensa manoscritta del Conti \"massimi e minimi\". Era un grande.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>eggià, questa è davero figa come soluzione

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Se interessa,la regola generale e\' la seguente:
<BR>se x1,x2,x3,....xn sono n quantita\' positive
<BR>tali che x1+x2+..+xn=costante,allora la
<BR>funzione x1<sup>a1</sup>*x2<sup>a2</sup>*....*xn<sup>an</sup>
<BR>e\' massima (all\'interno del suo campo di esistenza) se la basi del prodotto
<BR>sono proporzionali ai rispettivi esponenti:
<BR>x1/a1=x2/a2=x3/a3=....=xn/an
<BR>E\' quello che ho fatto per il prodotto p<sup>3</sup>(4/3-p).
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-05-2004 20:06 ]

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Forse mi sbaglio , ma una semplificazione alla gia\' ottima
<BR>soluzione di Lordgauss del secondo es. si puo \' avere cosi\'.
<BR>I triangoli ABP e ADP,come gia indicato da lordgauss medesimo,sono simili
<BR>per avere l\'angolo DAP in comune e gli angoli ADP,APB congruenti
<BR> perche \' entrambi congruenti all\'angolo ACB.Sara\' anche APD=ABP.
<BR>Si hanno allora le due proporzioni:
<BR>AB/PA=PA/AD da cui si trae (tenuto conto che AB=4*AD) che:
<BR>PA=2*AD
<BR>e l\'altra
<BR> PB/PD=PA/AD da cui si trae:
<BR>PB=PA*PD/AD=2*AD*PD/AD ovvero PB=2*PD.
<BR>q.e.d.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-05-2004 21:57 ]

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

EX: 5
<BR>n(n+1)=4mn-m*m
<BR>n(n+1)=m(4n-m)
<BR>m/n=(n+1)/(4n-m)
<BR>sostituendo con quella iniziale
<BR>(n+1)/(4n-m)+(n+1)/m=4
<BR>(n+1)/4(4n-m)+(n+1)/4m=1
<BR>la somma di due frazioni aventi lo stesso numeratore può dare 1 solo se le due frazioni equivalgono ad 1/2
<BR>ma ciò può avvenire solo se hanno lo stesso denominatore cioè se:
<BR>4m=4(4n-m) m=2n
<BR>e ovviamente se il numeratore è la metà del denominatore:
<BR>n+1=2n/2 n+1=n da qui l\'assurdo

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Mi sorge un fatidico dubbio atroce:
<BR>\"la somma di due frazioni aventi lo stesso numeratore può dare 1 solo se le due frazioni equivalgono ad 1/2\" <----è vero?
<BR>

matthewtrager
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Messaggio da matthewtrager » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-16 12:16, MASSO wrote:
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Mi sorge un fatidico dubbio atroce:
<BR>\"la somma di due frazioni aventi lo stesso numeratore può dare 1 solo se le due frazioni equivalgono ad 1/2\" <----è vero?
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>2/3+2/6=1...

cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

probabilmente masso intendeva quando le frazioni sono ridotte ai minimi termini.
<BR>in questo caso è vero.
<BR>a/b+a/c=1
<BR>a=bc/(b+c)
<BR>ma (a,b)=(a,c)=1
<BR>quindi a=1
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
Alex, Arancia Meccanica.

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MASSO
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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

ok, il mio primo tentativo di soluzione era sbagliato perciò ci riprovo:
<BR>m^2 +n^2 +n= 4mn
<BR>quindi m^2==0 mod (n)
<BR>raccolgo (m-n)^2 =n(2m-1)
<BR>ora n deve essere coprimo a 2m-1 se no non potrebbe essere divisore di m
<BR>quindi devono essere entrambi due quadrati
<BR>ora chiamando n=k^2 2m-1=q^2 si ha
<BR>((q^2 -2k^2 +1)/2)^2 =(kq)^2
<BR>estraendo la radice e raddopiando tutto
<BR>q^2 -2k^2 +1 =2qk
<BR>raccogliendo: (q-k)^2 =3k^2 -1
<BR>a sinistra può essere solo congruo a 0 o 1 modulo 3
<BR>mentre a destra è congruo a 2
<BR>Quindi ho vinto

cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Quindi ho vinto
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mi ricorda qualcosa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
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