Problemi d\'allenamento

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

eccovi alcuni problemi che spero possano tornarvi utili come allenamento per Cesenatico <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> :
<BR>
<BR>1. dati n numeri reali tali che a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+...+a<sub>n</sub> sia diversa da zero, si dimostri che per ogni intero positivo h<=n si possono scegliere h numeri fra quelli assegnati in modo che la somma sia ancora diversa da zero.
<BR>
<BR>2. Sia d(n) la funzione che associa ad n il numero dei suoi divisori compresi 1 e n. Si consideri ora la successione n, d(n), d(d(n))... e si determini per quali valori di n la successione non contiene quadrati perfetti.
<BR>
<BR>3. ci sono m forzieri, ciascuno con chiave unica. le chiavi sono disposte a caso nei fozieri, una ciascuno. inoltre i forzieri sono tutti chiusi a chiave tranne k (k<=n) che sono forzati. k chiavi sono quindi accessibili. qual\'è la probabilità che i forzieri chiusi possano essere aperti senza necessità di forzarli? si risolva per semplicità prima il caso m=30, k=2.
<BR>
<BR>4. In un edificio ci sono due piani perfettamente uguali come struttura. Al pian terreno c\'è una stanza con due ingressi, ad ogni ingresso c\'è un interruttore della luce che accende o spenge la lampada della stanza. Considerando la casa affine a una frase contenente 4 proposizioni (i 4 interruttori della luce) si determini la frase completa di connettivi logici.
<BR>
<BR>5. dimostrare che, con a,b,c reali positivi minori di 1,
<BR> a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup> <= a<sup>2</sup>b+b<sup>2</sup>c+c<sup>2</sup>a + 1<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 05-05-2004 20:23 ]

cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

1
<BR>supponiamo per assurdo che esista un h tale che non sia possibile scegliere h numeri tali che la loro somma sia diversa da 0.
<BR>prendo una combinazione qualsiasi di h numeri.
<BR>sostituendo un numero di questi h con un altro degli n-h esclusi, otterrò una combinazione in cui la somma di h numeri è diversa da 0 se a è diverso da b.
<BR>non ottengo alcun risultato da questa sostituzione se tutti gli h numeri scelti sono uguali a tutti gli n-h non scelti.
<BR>qui c\'è l\'assurdo, perché se tutti gli n sono uguali e diversi da 0, la somma di k numeri non può essere 0 (deriva dal fatto che la somma degli n è diversa da 0. ciò esclude la possibilità che tutti i numeri siano uguali a 0).
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
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maths
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Messaggio da maths » 01 gen 1970, 01:33

Dove li trovi questi problemi, Biagio??????

edony
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Messaggio da edony » 01 gen 1970, 01:33

2.
<BR>Siccome la successione è strettamente decrescente da n a 2,sia arriverà dopo un numero finito di passi a 2<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">er arrivarci il numero precedente deve essere necessariamente primo, ma essendo primo e maggiore di 2, è anche dispari e quindi il numero precedente a esso è un quadrato perfetto.Di conseguenza la successione,per non contenere quadrati perfetti, deve essere formata da un numero primo e poi 2,2,2,2,2.....
<BR>

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-01 15:28, maths wrote:
<BR>Dove li trovi questi problemi, Biagio??????
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>bah, provengono da fogli che mi hanno dato nei vari stages.
<BR>
<BR>per l\'1 ok, anche se avevo trovato una sol. diversa.
<BR>supponiamo per assurdo che esista un k per il quale comunque si scelgano k elementi, la somma sia 0.
<BR>i modi di scegliere questi k elementi è C(n,k), ora sommiamo tutte queste somme e, per l\'assurdo dovremmo ottenere 0.
<BR>questa somma corrisponde però anche a C(n-1,k-1) volte le somme degli a_i in quanto ogni termine compare proprio C(n-1,k-1) volte che, per ipotesi è diversa da 0. contraddizione. <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 01-05-2004 15:44 ]

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

ok anche il 2...ora il 3.
<BR>ps:gli es. erano in ordine di difficoltà <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Perchè il 3° nn mi sembra così difficile...avrò sbagliato qualcosa. Volevo dirti la sol in chat 2 ore fà Biagio: poi mio fratello ha preso il pc..
<BR>Cmq.
<BR>Noi abbiamo k chiavi, tanti quanti i forzieri aperti.
<BR>Dobbiamo aprire altri (n-k) forzieri.
<BR>abbiamo C(n,k) possibili scelte per le chiavi.
<BR>Quante sono quelle che vanno bene? Innanzitutto dobbiamo avere le n-k chiavi necessarie. Possiamo scegliere le rimanente k-n+k=(2k-n) chiavi a disposizione tra quelle rimaste, ovverosia n-n+k=k. Le combinazioni buone sono quindi C(k,2k-n). Naturalmente perchè i calcoli abbiano senso deve essere k>(n-k) altrimenti abbiamo meno chiavi dei forzieri da aprire!
<BR>Dalla definizione di probabilità esce il ris.
<BR>Sembra troppo facile: ci sarà il trucco.
<BR> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 01-05-2004 19:30 ]

cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

eeeh? non ho capito niente nel ragionamento di info.
<BR>cmq credo che non possa andare.
<BR>il fatto è che quando apri un forziere potresti trovare una chiave di un forziere forzato, che ti blocca.
<BR>@biagio: un forziere può contenere la sua chiave? se no penso di aver capito come si fa. se il risultato lo scrivo in forma di sommatorie e produttorie va bene?
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Hai ragione Cekko....il mio ragionamento nn funziona ma nn per quello che dici tu. Nn ho considerato il fatto che, aprendo un forziere, tu possa trovare una chiave \'utile\'......

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

per cekko: certo che può contenere la sua chiave, ma se così fosse, potresti aprirlo?

cekko
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Messaggio da cekko » 01 gen 1970, 01:33

potrebbe essere uno dei forzati.
<BR>cmq te conosci la soluzione (e un procedimento)?
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

esatto
<BR>si, la conosco e le generalizzazioni sono mie <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>comunque consiglio di partire dal caso particolare e poi generalizzare<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 01-05-2004 20:43 ]

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

up
<BR>
<BR>wow! per n=40 e k=4 è il famoso \"solitario dei quattro re\"!
<BR>
<BR>io ho provato con k=1, e dovrebbe essere p(n)=1/n
<BR>
<BR>ma già il caso con k=2 sembra molto più ostico, il problema è trovare l\'approccio giusto..
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Anch\'io ci ho provato ma nn mi viene il risultato che Biagio si aspetta. Dato che il passaggio da k=1 a k=2 nn mi sembra impossibile provo a postare un procedimento per k=1. Se vedete errori ditemelo:
<BR>
<BR>Immaginiamo di avere i 30 forzieri davanti a noi. Quello rotto è il primo a sinistra. Le chiavi possono essere sistemate in 30! modi diversi. Nel forziere numero 1 possiamo mettere 29 chiavi: tutte tranne quella del forziere stesso, altrimenti nn apriamo nulla. Scelta quella chiave, quella chiave ci aprirà una cassa, dove troveremo la chiave di un\'altra, dove... e così via..Insomma: mettiamo queste casse in \'ordine di apertura\' e sistemiamo le chiavi di conseguenza. Vi sono 28! sequenze simili (la prima cassa da aprire è già stata scelta!). Dato che vi è una corrispondenza biunivoca tra le chiavi inserite e l\'ordine delle casse aperte, possiamo quindi affermare che le chiavi nelle altre 29 casse possono essere messe in 28! modi diversi. Quindi, probabilità: 28!*29 (combinazioni buone)/30!=1/30.
<BR>Questo risultato è identico a quello di Talpuz.E\' casuale?
<BR>
<BR>Il ragionamento credo si possa mettere in maniera + facile ma così è facilmente (credo) generalizzabile. Una volta scelte le chiavi dei forzieri aperti, per k=2 si devono dividere le rimanenti casse in due serie analogamente al caso k=1 e permutare gli elementi di queste, come fatto sopra.....
<BR>Aspetta, forse ho capito il mio errore: avevo imposto che queste 2 serie fossero di lunghezza uguale ma nn è per niente detto. Va bè: se Biagio dice che sono sulla strada giusta proseguirò: ora nn ho voglia. Anche perchè probabilmente esiste un procedimento + breve (che sò, magari con la probabilità inversa). Ciao

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

si, nel caso k=1 p(m)=1/m
<BR>ma se k=2??
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>ps:a me questo esercizio ha dato molta soddisfazione, se non altro per il risultato a cui sono giunto........(spero di incuriosirvi per spingervi a continuare nella ricerca del risultato...eheh)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 03-05-2004 20:34 ]

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