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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Dato ABC triangolo qualsiasi e detto I l\'incentro, dimostrare che la circonferenza per I,A,B ha centro sulla bisettrice di <ACB.
<BR>
<BR>(o almeno credo...)

PFR
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Messaggio da PFR » 01 gen 1970, 01:33

E più precisamente, tale centro è il punto d\'intersezione tra la bisettrice CI e la circonferenza circoscritta a ABC. Questo problema fu dato nella gara di Roma 2 anni fa e nessuno lo risolse.
<BR>
<BR>Per dimostrarlo, basta una caccia agli angoli, e un po\' di pazienza.
<BR>
<BR>Se si chiede di dimostrare _solamente_ che è sulla bisettrice, sembra che si sia chiesto di meno, e che quindi il problema sia più facile, mentre è invece molto più difficile.
<BR>
<BR>Questo, del resto, è un modo classico per renbdere più complicato un problema: chiedere di dimostrare un enunciato in apparenza più debole ma in pratica impossibile da provare, se non si dimostra qualcosa di più. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Hmm, grazie per la stima, ma non sono così perfido...c\'è una dimostrazione di questo enunciato che prescinde da dove si trovi il centro di detta circonferenza esattamente. Si può dimostrare che è sulla bisettrice e nulla di più.
<BR>Inoltre, non sapevo che fosse stato proposto a qualche gara...è un risultato che mi è servito dimostrando un teorema e ho pensato che fosse istruttivo proporlo.

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Propongo questa dimostrazione.
<BR>Poniamo
<BR>BAC=2a,ABC=2b,ACB=2c,gamma=circonferenza per ABC
<BR>S=intersezione di gamma con la retta CI.
<BR>Si uniscano S ed I con A,B e C.
<BR>Per un noto teorema e\':
<BR>SBA=SCA=c e quindi:
<BR>SBI=SBA+ABI=b+c
<BR>Ora SIB e\' esterno al triangolo BIC e dunque:
<BR>SIB=IBC+ICB=b+c.
<BR>Ne segue che il triangolo SIB e\' isoscele su BI e pertanto:
<BR>SB=SI.
<BR>Con un analogo ragionamento sul triangolo SIA si prova che:
<BR>SI=SA.
<BR>In conclusione il punto S,che gia\' sappiamo essere su CI,e\' il
<BR>centro della circonferenza per A,B ed I.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-05-2004 15:35 ]

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