Problema numerico carino

[Kornholio]

<BR>Sum[j=1..n] f(j) <br>
<BR>sommatoria delle f(j) con j che varia da 1 a n<br>
<BR>-------------------------------------------<br><br>
<BR>
<BR>Sia A un numero formato da N cifre intere <br>
<BR>consecutive (ex.: 1234,4567,3456789)<br>
<BR>e B lo stesso numero scritto al contrario.<br>
<BR><br>
<BR>Dimostrare che, se N<10 :<br><br>
<BR>
<BR>B-A = 9 sum[j=1..(n-1)] sum[k=1..j] k*10^(k-1)<br>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

[N3o]

Osserviamo innanzitutto che:
<BR>
<BR>(1) Sum[j=1...n] Sum[k=1...j] f(k) = Sum[k=1...n] (n-k+1)f(k)
<BR>
<BR>Per dimostrarlo, procediamo per induzione: la tesi è vera per n = 1, infatti:
<BR>
<BR>Sum[j=1...1] Sum[k=1...j] f(k) = Sum[k=1...1] f(k) = f(k)
<BR>
<BR>Supposta la tesi vera per n, dimostriamola per n+1:
<BR>
<BR>Sum[j=1...n+1] Sum[k=1...j] f(k) =
<BR>Sum[j=1...n] Sum[k=1...j] f(k) + Sum[k=1...n+1] f(k) =
<BR>Sum[k=1...n] (n-k+1) f(k) + Sum[k=1...n] f(k) + f(k) =
<BR>Sum[k=1...n] (n-k+2) f(k) + (n-(n+1)+2)f(k) =
<BR>Sum[k=1...n+1] (n-k+2) f(k)
<BR>
<BR>---
<BR>
<BR>Consideriamo ora la funzione f: N -> N x -> a+x-1, dove a è la prima cifra del numero A.
<BR>Scriviamo gli sviluppi decimali di A e B:
<BR>
<BR>B = f(1) + 10 f(2) + ... + 10^(n-2) f(n-1) + 10^(n-1) f(n) = Sum[k=1...n] f(k) 10^(k-1)
<BR>A = f(n) + 10 f(n-1) + ... + 10^(n-2) f(2) + 10^(n-1) f(1) = Sum[k=1...n) f(n-k+1) 10^(k-1)
<BR>
<BR>Calcoliamo la differenza:
<BR>
<BR>B-A = Sum[k=1...n] (f(k) 10^(k-1) - f(n-k+1) 10^(k-1)) =
<BR>Sum[k=1...n] (f(k)-f(n-k+1)) 10^(k-1)
<BR>
<BR>Poiché
<BR>
<BR>f(k) - f(n-k+1) = a+k-1 - (a+(n-k+1)-1) = a+k-1-a-n+k = 2k-n-1
<BR>
<BR>Concludiamo che
<BR>
<BR>B-A = Sum[k=1...n] (2k-n-1) 10^(k-1)
<BR>
<BR>---
<BR>
<BR>Sviluppiamo ora la sommatoria al secondo membro dell\'equazione da dimostrare. Abbiamo, per la (1):
<BR>
<BR>9 Sum[j=1...n-1] Sum[k=1...j] k 10^(k-1) =
<BR>9 Sum[k=1...n-1] k(n-k) 10^(k-1) =
<BR>10 Sum[k=1...n-1] k(n-k) 10^(k-1) - Sum[k=1...n-1] k(n-k) 10^(k-1) =
<BR>Sum[k=1...n-1] k(n-k) 10^k - Sum[k=1...n-1] k(n-k) 10^(k-1) =
<BR>Sum[k=2...n] (k-1)(n-k+1) 10^(k-1) - Sum[k=1...n-1] k(n-k) 10^(k-1) =
<BR>(n-1) 10^(n-1) + Sum[k=2...n-1] (k-1)(n-k+1) 10^(k-1) - Sum[k=2...n-1] k(n-k) 10^(k-1) - n + 1 =
<BR>(2n-n-1) 10^(n-1) + Sum[k=2...n-1] (2k-n-1) 10^(k-1) + 2-n-1 =
<BR>Sum[k=1...n] (2k-n-1) 10^(k-1) = B-A
<BR>
<BR>Come volevasi dimostrare.<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: N3o on 2001-04-05 16:59 ]</font>