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andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che per ogni potenza di 5 esiste un suo multiplo tale che nella sua rappresentazione decimale non vi sia la cifra 0. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Andrea 84 alias Brend

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

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Andrea 84 alias Brend

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

a) Dimostrare che ogni numero ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1 e 0
<BR>
<BR>B) Dimostrare che ogni numero tale che (n,10)=1 ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1
<BR>

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-21 14:10, andrea84 wrote:
<BR>Dimostrare che per ogni potenza di 5 esiste un suo multiplo tale che nella sua rappresentazione decimale non vi sia la cifra 0. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Se vi fossero infinite potenze di 5 che, moltiplicate per una qualsiasi cifra, non hanno lo 0 nella loro scrittura decimale, l’ipotesi sarebbe dimostrata perchè il multiplo cercato sarebbe:
<BR>
<BR>(5^k*x1*x2*x3*...*xi)/5^n con k>n
<BR>
<BR>dove k è l’esponente della prima potenza seguente che verifica tale ipotesi, x1*x2*x3*...*xi sono i fattori che la rendono, in base 10, con tutte le cifre diverse da 0, e n l’esponente della potenza di 5 che vogliamo rendere a cifre diverse da 0. Tale numero è sempre un intero perchè è uguale ad una potenza positiva di 5 per una serie di fattori interi.
<BR>
<BR>Mutiamo quindi la tesi in:
<BR>-Dimostrare che esistono infinite potenze di 5, che, moltiplicate per un numero indefinito di fattori primi, danno un numero che, in base 10, non contiene la cifra 0.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Poi brancolo nel buio. Continuerò a ripensarci.</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 29-04-2004 15:06 ]
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tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Simo, finalmente ti rendo il maltolto.
<BR>
<BR>a)Pigeonhole: per ogni numeri n€N, prendiamo n numeri 1, 11, 111, ..., 111...111 (n UNI); o uno di questi sarà divisibile per n, oppure ci saranno n-1 resti diversi (perché da 1 a n-1)=>pigeonhole: due avranno lo stesso resto: la loro differenza, numero nella forma 111...1100..00 sarà divisibile per n
<BR>b)se n non è divisibile per 2 o 5, dato che 111..1100..00==111..11*2^k*5^k con k minore n come abbiamo visto sopra, anche 111..11 sarà divisibile per n.
<BR>
<BR>Q.E.D.
<BR>
<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn
<BR>EDIT: il segno minore... non pensavo lo prendesse come tag<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 21-04-2004 22:26 ]
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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-21 22:05, Boll wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dateci un occhiata e ditemi se non ho fatto qualche errore, forse sono un pò ridondante, ma ne sono consapevole.</B><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>A quanto vedo, la soluzione genera un errore ed un warning...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Dimostriamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi e sosteniamo che esiste una potenza di 5^n massima
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Warning: la negazione della tesi non dice che esiste una potenza massima che gode della proprietà, ma dice che l\'insieme delle potenze che godono della proprietà non è infinito. Questo insieme potrebbe anche essere vuoto, e perciò non avere massimo. In questo caso è banale verificare che non è vuoto, ma in altri casi una leggerezza del genere potrebbe portare ad errori. Ad esempio, se il tuo enunciato fosse falso per tutte le potenze di 5, ma se riuscissi a dimostrare che l\'insieme delle potenze di 5 per cui vale non ha massimo, saresti portato a concludere che vale per infinite potenze di 5... il che ovviamente non può essere. Una commissione olimpica scrupolosa ti toglierebbe un punto, per questa mancanza.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Ora scriviamo il numero
<BR>ABCDEF...ZABCDEF...Z di 2k cifre, tutte diverse da 0, che sarà uguale a 5^n*5^n*5^k*2^k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Purtroppo è 5<sup>n</sup>*10<sup>k</sup>+5<sup>n</sup>, e questo dettaglio inficia tutto il resto della dimostrazione.
<BR>
<BR>Peccato che non funzioni, perchè le idee su cui si basava il ragionamento erano belle. Probabilmente non è tutto da buttare via, prova a fare qualche ritocco nella stessa direzione...
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [addsig]

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto <!-- BBCode Start --><B>grazie ad Antimateria</B><!-- BBCode End -->, che ha avuto la pazienza e il coraggio di leggere la mia dimostrazione. Sto lavorandoci ancora, ma credo che quella via sia arida, sto provando con le congruenze e forse viene meglio. <!-- BBCode Start --><B> Nel frattempo se qualcuno vuole correggermi questa è molto, ma molto ben accetto!!!</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-21 22:00, Simo_the_wolf wrote:
<BR>a) Dimostrare che ogni numero ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1 e 0
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Tmart aveva già dato una soluzione, ma non capendo io il Pigeonhole ne ho cercat un\'altra e, se è corretta, ho anche \"ampliato\" la tesi.
<BR>
<BR>Il criterio di divisibilità di un numero n si può esprimere come:
<BR>
<BR>a1+x*a2+y*a3+...+ak==0 (MOD n) (1)
<BR>
<BR>Dove an rappresenta la cifra di posto n nella scrittura decimale del numero letta da destra a sinistra e x, y ... i valori delle congruenze modulo n delle potenze crescenti di 10.
<BR>
<BR>Quindi dovendo trovare un multiplo di n che contenga solo 0 e 1 nella propria scrittura basterà porre uguale a 0 tutte le cifre che hanno nella (1) un moltiplicatore, e uguale a 1 tutte quelle che non l’hanno. In tal caso il numero di n^2 cifre formato da n blocchi del tipo 100...0 con n-1 zeri sarà sicuramente ==0 (MOD n) perchè il suo “criterio” risulterà n==0 (MOD n), che è, ovviamente, sempre vera, e conterrà solo 0 e 1 nella scrittura decimale, da cui la tesi.
<BR>
<BR>Tale procedimento potrà essere ripetuto con tutti i numeri di 2*n^2, 3*n^2, ..., i*n^2 cifre, formati dai blocchi 100...0 con n-1 zeri, infatti in questi casi si avrà che 2n, 3n, ...,in==0 (MOD n).
<BR>
<BR>Conclusione: Ogni numero ha infiniti multipli che contengono solo 0 e 1 nella scrittura decimale (a meno che tutto questo non sia che un ammasso di byte inutile, il che in realtà è molto probabile).
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Ripeto l\'annuncio corretto:
<BR>Chiunque conosca un libro simile a
<BR>\"Synopsis of elementary results in pure mathematics\" di Carr
<BR>ristampato negli anni 70 circa come \"Formulae and results in pure mathematics\" o qualcosa del genere... Beh, mi avverta: acquisto!
<BR>
<BR>Ovvero, per chi non lo conoscesse, mi interessa un libro in cui la teoria è concentrata e da dimostrare in gran parte...
<BR>
<BR>Parte II: Pensate sia meglio \"Corso di Matematica Superiore\" (5 volumi + es) di Smirnov o i 3 libri di analisi di Iaquinta, Modica?[addsig]
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Up. Vi prego ditemi se sbaglio e dove lo faccio. Altrimenti scrivete solo \"Bene\" o \"Cazzate\". Tanto da sapere se devo abbandonare il sito per ostracismo o posso continuare ad esercitarmi. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-21 22:00, Simo_the_wolf wrote:
<BR>
<BR>B) Dimostrare che ogni numero tale che (n,10)=1 ha un multiplo che nella rappresentazione decimale presenta solo 1
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>se (n,10)=1 ==> 10<sup>phi(n)</sup>==1 mod(n) ==>sum(i=0...phi(n)-1)10<sup>K(phi(n))+i</sup> avrà la stessa congruenza mod(n) per ogni k naturale, pertanto basterà mettere in fila tanti 1 quanto è il valore n*(phi(n)) per essere sicuri di avere un numero divisibile per n.

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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-28 21:38, Boll wrote:
<BR>Innanzitutto <!-- BBCode Start --><B>grazie ad Antimateria</B><!-- BBCode End -->, che ha avuto la pazienza e il coraggio di leggere la mia dimostrazione. Sto lavorandoci ancora, ma credo che quella via sia arida, sto provando con le congruenze e forse viene meglio. <!-- BBCode Start --><B> Nel frattempo se qualcuno vuole correggermi questa è molto, ma molto ben accetto!!!</B><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non c\'è di che, è stato un piacere! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Anche questa volta hai tirato fuori una bella idea, ma non l\'hai usata in modo del tutto giusto. Un modo per usarla è quello spiegato di Biagio per il punto B. Nota che, dimostrato il punto B, il punto A segue facilmente.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Tmart aveva già dato una soluzione, ma non capendo io il Pigeonhole ne ho cercat un\'altra
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Se posso darti un umile consiglio, dovresti vederti il pigeonhole, prima della teoria dei gruppi (visto che parli di moltiplicatori...).[addsig]

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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

Come mi fate notare, non sono stato molto esauriente nel messaggio precedente.
<BR>
<BR>Dunque, poniamoci nel caso in cui n e 10 sono coprimi. Sappiamo per il teorema di Fermat che la successione delle potenze di 10 modulo n ha un certo periodo k (dipendente da n) e non ha antiperiodo. Ora, il fatto di prendere la stringa 100000... (n-1 volte 0) e ripeterla n volte non garantisce che il numero ottenuto sia multiplo di n. Ad esempio, per n=7, i moduli sono 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ... . Quindi il periodo è k=6, ed il numero di 49 cifre costruito in questo modo è congruo a 1+3+2-1-3-2+1=1 (mod 7). La stessa cosa succede anche se, al posto di 1000000, prendi una qualunque stringa fatta da sei 0 e un 1.
<BR>Per avere un multiplo di 7 dovresti, ad esempio, prendere una stringa di 6 cifre anzichè 7, oppure ripeterla 6 volte. In generale, come ha fatto Biagio, si può prendere la stringa di k volte 1 e ripeterla n volte, in modo che le cifre corrispondenti negli n blocchi abbiano lo stesso resto modulo n, e che quindi prendendole n volte si ottenga un multiplo di n.

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