problema

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maths
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Messaggio da maths » 01 gen 1970, 01:33

Voglio proporvi un problema di Cortona:
<BR>
<BR>Trovare tutte le coppie (p,q) di numeri primi tali che p divida (5^q + 1) e q divida (5^p + 1)
<BR>
<BR>Le soluzioni date sono (2,2) (2,13) (13,2) (3,3)
<BR>
<BR>ma io ne ho trovate altre due:
<BR> (3,7) e (7,3)
<BR>
<BR>
<BR>Voi che ne pensate?
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: maths il 13-04-2004 12:27 ]

jabberwocky
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Messaggio da jabberwocky » 01 gen 1970, 01:33

che hai ragione
" 'Twas brillig, and the slithy toves
did gyre and gimble in the wabe.
So mismy were the borogroves,
and the mome raths outgrabe. "

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livingbooks
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Messaggio da livingbooks » 01 gen 1970, 01:33

Hai ragione, ma come si dimostra che queste sono le uniche coppie?
livingbooks

PFR
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Messaggio da PFR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-12 19:44, maths wrote:
<BR>
<BR>Trovare tutte le coppie (p,q) di numeri primi tali che p divida (5^q + 1) e q divida (5^p + 1)
<BR>
<BR>Le soluzioni date sono (2,2) (2,13) (13,2) (3,3)
<BR>
<BR>ma io ne ho trovate altre due:
<BR> (3,7) e (7,3)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Supponiamo che sia P maggiore o uguale a q.
<BR>Sappiamo che 5^p=-1 mod q, da cui
<BR>
<BR>25^p=1 mod q.
<BR>
<BR>1° sottocaso: 25=1 mod q.
<BR>In tal caso q divide 24, dunque q=2 oppure q=3.
<BR>
<BR>Altrimenti, se 25 fosse diverso da 1 (mod q), allora p dovrebbe essere multiplo dell\'ordine moltiplicativo di 25 (rispetto al modulo q), che (per il piccolo teorema di Fermat) è un divisore di q-1: tale ordine, in particolare, dovrebbe essere diverso da 1 e minore di p (dato che p>q-1). Ma questo non può accadere, visto che p è primo.
<BR>
<BR>Quindi o abbiamo q=2 oppure q=3.
<BR>
<BR>Se q =2, si ha che p divide 5^2+1=26, quindi P=2 oppure p=13 (e si verifica che ambedue vanno bene).
<BR>
<BR>Se q=3, abbiamo che p divide 5^3+1=126, quindi p=2 oppure p=3 oppure p=7. Si verifica che (3,2) non è una soluzione, mentre (3,3) e (7,3) vanno bene.
<BR>
<BR>Per ogni soluzione ovviamente c\'è anche la simmetrica, e quindi le troviamo tutte.
<BR>(2,2) (2,13) (13,2) (3,3) (3,7) e (7,3).
<BR>
<BR>Ciao!
La matematica è 50% calcoli, 50% ragionamento, 50% immaginazione.

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