Tempus fugit

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Vi propongo questo quesito, che era alla gara di Genova di oggi:
 12. Questa gara è iniziata alle 14:00:00 e terminerà alle 16:00:00. Durante lo svolgimento, l\'ora è costantemente indicata da un orologio digitale a 6 cifre (2 per le ore, 2 per i minuti, 2 per i secondi). determinare per quanti secodi, durante la gara, le 6 cifre indicate dall\'orologio saranno diverse.
 
 Io l\'ho dimostrato così:
 Prendiamo l\'ora che va dalle 14 alle 15, in quest ora le cifre dei minuti non potranno contenere i nmeri 1 e 4 (oltre naturalmente ai numeri 6,7,8,9 alla prima cifra), quindi si potranno avere ai minuti solo i numeri 02,03,05,06,07,08,09,20,23,25,26,27,28,29,30,32,35,36,37,38,39,50,52,53,56,57,58,59. In totale 28 suoluzioni possibili. Per ognuno di questi numeri si avranno rispettivamete 10 soluzioni possibilli ai secondi per ogni coppia che abbia solo uno dei numeri 0,2,3,5, perchè vanno escluse le 14 in cui sono presenti i due numeri alla prima cifra e le 4 in cui sono presenti alla seconda cifra. Si avranno invece 15 soluzioni possibili per i casi in cui sia presente nella coppia solo una delle cifre 0,2,3,5, perchè vanno escluse le 7 in cui è presente alla prima cifra, le 3 in cui è presente alla seconda cifra e le 3 in cui l\'altra cifra è presente alla seconda cifra. quindi er ogni blocco si avranno 3 blocchi da 10 e 4 blocchi da 15 soluzioni. 10*3+15*4= 90. Per 4 blocchi, 90*4=360. Analogamente si dimostra anche l\'ora dalle 15 alle 16. Quindi in totale 360*2=720 soluzioni possibili.
 
 Spero di essere stato chiaro. Tuttavia questa soluzione è troppo sperimentale e poco elegante, potreste per favore trovarmi quella più teorica ed elegante?

Francy88 · Messaggio da **Francy88** » 01 gen 1970, 01:33

sei di Piacenza?? siete andati molto bene, se non sbaglio.. complimenti!

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie, ma anche voi avete fatto quinti o sesti, mi pare.

Shoma85 · Messaggio da **Shoma85** » 01 gen 1970, 01:33

L\'ultimo l\'ha risolto qualcuno?
 Era bruttino...

Francy88 · Messaggio da **Francy88** » 01 gen 1970, 01:33

eh no magari!! Una scuola di reggio (il Moro) è arrivata 7°, ma io naturalmente ero nell\'altra squadra che è arrivata 15esima <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> Comunque è stata una bella gara..

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

credo nessuno, ma non saprei.

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Non e\' per nulla brutto, basta avere un po\' di metodo...
 Sia l\'ora segnata:
 1A: BC: DE (hh:mm:ss)
 Per generare tutte gli orari accettabili scegliamo una ad una le cifre in quest\'ordine:
 A: o 4 o 5, due possibilita\' (con 6 c\'e\' solo 16:00:00 che e\' chiaramente non accettabile)
 B: da 0 a 5, escludendo 1 e quella gia\' scelta in A: 4 possbilita\'
 D: da 0 a 5, ma escludendo 1, A e B: 3 possibilita\'
 C: da 0 a 9, escludendo 1,A,B e D: 6 possibilita\'
 E: da 0 a 9, escludendo 1,A,B,C e D: 5 possibilita\'
 
 Sono tutte scelte indipendenti, facciamo il prodotto delle possibilita\':
 2*4*3*6*5=720
 si faceva velocemente...
 
 ciao
 --f [ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 02-04-2004 23:04 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-02 21:35, Shoma85 wrote:
 L\'ultimo l\'ha risolto qualcuno?
 Era bruttino...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Punti di vista...
 Comunque, se non ci sono stati cambiamenti dell\'ultimo minuto, il testo dovrebbe essere questo:
 
 Un meccanismo... infernale
 Tre ruote dentate hanno i centri allineati e sono collegate tra loro in modo che, quando la ruota centrale gira, girano anche le altre due. La ruota centrale ha 39 denti, le altre due hanno 38 e 52 denti, rispettivamente. In posizione di riposo, viene disegnata sulle ruote la linea che unisce i centri. Successivamente, il meccanismo viene messo in movimento alla velocità costante che consente alla ruota centrale di compiere un giro completo in 3 minuti e mezzo.
 Determinare dopo quanti secondi si ha che per la prima volta i tre segmenti disegnati sulle tre ruote risultano paralleli.
 
 Beh, allora, chiamiamo a l\'angolo d\'inclinazione del segmento della ruota centrale rispetto alla posizione di riposo, ad un dato istante. In ogni momento, l\'angolo relativo alla prima ruota vale -39a/38, l\'angolo della seconda ruota è invece -39a/52. Per convincersene, basta considerare che il numero di denti di una ruota è proporzionale alla sua circonferenza (i denti ingranano tra loro, quindi hanno la stessa grandezza...), e che le ruote laterali girano in senso opposto a quella centrale.
 Ora, affinchè i segmenti sulle ruote siano paralleli, è necessario e sufficiente che le differenze tra i relativi angoli siano multipli dell\'angolo piatto. Quindi, occorre trovare il minimo a tale che le quantità (39+38)a/38=77a/38 e (39+52)a/52=7a/4 siano entrambe intere.
 Si vede subito che il numero che cerchiamo dev\'essere razionale. Il suo numeratore deve necessariamente essere un multiplo di 38 e 4, quindi del loro mcm 76. Il numeratore è allora della forma 76k, e bisognerebbe a questo punto scegliere il denominatore di a pù grande possibile, in modo da rendere minima la frazione. Il massimo denominatore possibile è k*MCD(77,7), quindi il minimo a è 76/7.
 Questo significa che, quando l\'angolo della ruota centrale è 76/7 dell\'angolo piatto, i tre segmenti sono paralleli. Siccome la ruota centrale compie mezzo giro in 3,5*60/2=105 secondi, il numero cercato è 105*76/7=1140.[addsig]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie fph, non avevo propio pensato alla faccenda delle probabilità. Così era molto più veloce ed elgante.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-03 13:31, Boll wrote:
 Grazie fph, non avevo propio pensato alla faccenda delle probabilità.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Penso che nemmeno fph abbia pensato alla faccenda delle probabilità... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-03 13:34, Antimateria wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-03 13:31, Boll wrote:
 Grazie fph, non avevo propio pensato alla faccenda delle probabilità.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Penso che nemmeno fph abbia pensato alla faccenda delle probabilità... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 In effetti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> Qui la probabilita\' non c\'entra nulla, Boll, e\' una cosa abbastanza comune quella di confondere un po\' combinatoria e probabilita\'.
 
 Questo e\' un problema di combinatoria, che si fa con la \"product rule\" (se devo scegliere la coppia (a,b) e posso scegliere a in A modi e, indipendentemente, b in B modi, allora le scelte per (a,b) sono A*B; oppure, insiemisticamente, il prodotto cartesiano di AxB ha |A| * |B| elementi).
 
 I problemi di probabilita\' (a livello olimpico, perlomeno) si risolvono solitamente riconducendoli a problemi di combinatoria, tramite il fatto che prob=casi_favorevoli/casi_possibili, ma qui la probabilita\' non e\' mai entrata in gioco... c\'e\' la freccia probabilita\'=>combinatoria=>soluzione, ma i problemi di combinatoria esistono autonomamente e si risolvono da soli senza tirare in ballo ragionamenti di probabilita\'
 
 spero di aver chiarito un po\' il commentillo di Anti...
 ciao
 --f

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito la differenza, grazie. La mia soluzione era molto \"calcolosa\" e, avendo dovuto fare uno schema ad albero per arrivare ai primi 28 numeri, ho pensato fosse di probabilità, in realtà effettivamente con le probabilità non centra niente. Scusate la mia ignoranza. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Loth · Messaggio da **Loth** » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno ha voglia di illuminarmi sul problema 23 della coppa Fermat?
 
 Il testo era circa questo: \"7 persone mangiano dei piatti di pasta uguali. 5 di queste hanno porzione singola, 1 porzione doppia e 1 porzione tripla. Se nella ciotola dove e\' stata mescolata la pasta prima di passarla nei piatti sono stati messi 4 peperoncini, qual e\' la probabilita\' che almeno un commensale abbia nel suo piatto piu\' di un peperoncino?\"
 
 Cosi\' adesso si parla anche di probabilita\' <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Loth

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

penso che si potrebbe calcolare la probabilità che il 1° abbia più di un peperoncino e poi si moltiplica per 5, la probabilità che quello con porzione doppia abbia più di un peperoncino e la probabilità che quello con porzione tripla abbia più di un peperoncino. poi si toglie la probabilità che due persone abbiano due peperoncini a testa.
 così è un po\' lungo. non so se esista un sistema più veloce.

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

con questo procedimento, se non ho sbagliato i conti, viene 0,7795. è giusto?