Biliardo

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Mag
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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Voglio proporre questo problema per vedere se qualcuno riesce a risolverlo in maniera elegante:
<BR>
<BR>Dato un bilardo di forma circolare e posta una pallina in un punto P, trovare la/e direzione/i che permette/ono alla palla in due sponde di ripassare per il punto P.
<BR>
<BR>il problema è banale è puo essere risolto in via analitica facilmente ma la soluzione appare artificiosa; io penso di avere trovato una soluzione alternativa, ma volgio vedere se ce ne si migliori.
<BR>inoltre il problema può subire generalizzazioni:
<BR>- la figura del biliardo può essere cambiata in una qualunque altra figura
<BR>- il numero di sponde può essere generaliozzato ad n
<BR>
<BR>vediamo chi risolve!
<BR>
Quando tutti vedevano solo nero...



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Inor
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Messaggio da Inor » 01 gen 1970, 01:33

secondo me si può fare anche con una sponda, in quanto se si colpisce la palla perfettamente dritta e la si fa rimbalzare sulla sponda in maniera perfettamente dritta la palla ripasserà al punto P.

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Mag
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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Che significa colpire la palla perfettamente diritta?
<BR>...
<BR>comunque se ti riferisci al tiro che passa per il centro del biliardo è ovvio che quelle sia una soluzione...io mi riferisco agli altri tiri!
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J4Ck202
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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

Devo avere interpretato male qualcosa, perché nel caso con 2 sponde la
<BR>soluzione mi viene dipendente da una cubica, nel caso con 3 sponde c\'è
<BR>una soluzione banale (triangolo equilatero inscritto opportunamente ruotato)
<BR>solo se la pallina inizialmente dista dal centro più di R/2, in caso contrario
<BR>c\'è un florilegio di conti. Situazione pressochè analoga con 4 sponde.
<BR>Per un numero di sponde superiore a 4 i poligoni
<BR>stellati (opportunamente ruotati) risolvono agevolmente il problema...
<BR>Restano aperti un po\' di casi..
<BR>
<BR>Dimenticavo.. mi riferisco al caso in cui il biliardo abbia forma circolare.
<BR>Dubito fortemente che si possa generalizzare a \"biliardi di forma qualsiasi\",
<BR>dato che c\'è un\'intera branca della geometria (teoria ergodica) che studia
<BR>queste amenità..
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 01-04-2004 15:35 ]

MaMo
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Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Analiticamente ho trovato la seguente soluzione.
<BR>Indicando con d la distanza tra la pallina e il centro del biliardo di raggio r, le due direzioni (simmetriche) che permettono alla pallina di ripassare per il punto di partenza formano un angolo
<BR>x = arcsin[2r/(r + sqrt(r^2 + 8d^2))]
<BR>con il segmento che unisce il centro del biliardo con il punto di partenza della pallina.

MaMo
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Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Penso di aver trovato la soluzione analitica nel caso che la pallina tocchi tre sponde. L\'angolo diventa:
<BR>x = arcsin[(r/2)*sqrt((3d - r)/d^3)].
<BR>Comunque, la soluzione analitica del problema non mi sembra poi così semplice... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Io non ho detto che il problema è semplice: però dovete ammettere che basta trovare l\'equazione di riferimento e poi - per quanto astrusi siano i calcoli - la soluzione comunque è la vicino.
<BR>
<BR>io avevo pensato ad un tipo di soluzione diversa: più di tipo geometrico forse... solo che non so se è la migliore... di certo funziona
<BR>
<BR>vi lascio ancora un po\' di tempo per pensarci e per evitare di influenzarvi
<BR>
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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Ho capito che non vi sono altre strade immadiate.
<BR>Il prossimo messaggio conterrà l\'immagine della mia soluzione
<BR>(spero che si veda)!
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MaMo
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Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Sono riuscito a trovare una soluzione analitica generale del problema.
<BR>L\'ampiezza dell\'angolo x si trova risolvendo l\'equazione:
<BR>d*sinx - r*cos[(90° + x)/n] = 0
<BR>dove n è il numero di sponde necessario per ripassare per il punto P.
<BR>Mag, sono curioso di conoscere la tua soluzione geometrica. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Io ho scannerizzato le immagini dal mio quadeno, ma non riesco a inserirle nè come allegato (sono troppo grandi), nè nel messaggio.
<BR>
<BR>ora faccio qualche altro tentativo.
<BR>
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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Comunque in attesa che qualcuno mi aiuti ad inserire le immagini spiego un po\' il procedimento.
<BR>
<BR>se qualcuno ha fatto ottica capirà prima quanto sto per dire;
<BR>
<BR>quando la palla sbatte sul bordo l\'angolo incidente e l\'angolo riflesso saranno uguali e la normalle sarà il raggio condotto dal centro al punto dell\'urto.
<BR>
<BR>I) si disegni la circonferenza simmetrica a quella di partenza rispetto alla tangente nel punto dell\'urto, e si noti come trasformanto l\'intera figura (e quindi anche la direzione del tiro) la retta incidente e la retta riflessa giaciono sullo stesso piano.
<BR>
<BR>II) si applici il punto I) al secondo urto e al terzo e al quarto e...
<BR>
<BR>III) affinche il tiro passi per il punto P occorre che il punto trasformato
<BR>P-ennesimo giacia sulla retta del rito che si va delineando.
<BR>
<BR>una volta fatto quasto raginamento si pone semplicemente la retta del tiro come coincidente in un piano cartesiano con il semiasse positivo delle ascisse e di pone il punto p come coincidente con l\'origine. la condizione affinche il tiro passi per p e che il P-ennesino abbia ordinata pari a zero.
<BR>
<BR>so che appare complicato ma con una figura sarebbe semplicissimo
<BR>(soprattutto nei calcoli)
<BR>
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Messaggio da Mag » 01 gen 1970, 01:33

Mi spiace ma non riesco ad allegare i file: ci deve essere qualche problema.
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