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Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Provate a risolvere questo limite (visto ke io non ci riesco):
 
 limx-->+inf [sumi=1-->x phi(i)/i]/x
 
 \'Sperimentalmente\' dovrebbe essere compreso tra 0.60792 e 0.60793
 
 phi(x) è il numero di numeri primi con x e minori di x

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

Credo si aggiri appena sopra la decina.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto come fai a sapere che esiste?
 
 e ammesso che esista some si può computare visto phi(i) dipende solo dalla scomposizione in primi di i e non ha alcun legame con phi(i+1)?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uhm... esiste perché è minore di 1 e maggiore di 0, principalmente.
 cosa abbastanza facile da dimostrare...
 quanto alla computazione... beh, con qualche altro limite notevole (distribuzione di primi) e un pizzico di inclusione-esclusione, penso si possa trarre qualche conclusione migliore..

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Avevo pensato che forse c\'era una possibilità visto che phi(x) è moltiplicativa cioè phi(xy)=phi((x,y)) ma non so se esistano formule per questo tipo di funzioni.
 Ricordo inoltre che se p1, p2, p3....pn sono i primi che dividono x allora phi(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pn)

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Forse c\'è un\'idea... basta creare una f(n) moltiplicativa tale che sum[n>0]f(n) sia convergente e si può applicare il prodotto di eulero.
 purtroppo phi(n)/n è moltiplicativa ma non è convergente la sommatoria e phi(n)/nx nn è moltiplicativa. mah!! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 30-03-2004 22:53 ]

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Eh sì, quel limite esiste, si riesce a calcolare ed è pure un bel numero.
 Per calcolarlo si usa qualcosa di un po\' avanzato (ma non molto).
 
 CaO (ossido di calcio)

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

si potrebbe però trovare il limite della sommatoria di phi(i)/i² mi pare
 No, mi sbaglio... credo
 
 viene la produttoria di (1+1/p) per tutti i primi ma non so se è un qualcosa di notevole....
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 30-03-2004 23:39 ]

PFR · Messaggio da **PFR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-30 21:36, Simo_the_wolf wrote:
 
 limx-->+inf [sumi=1-->x phi(i)/i]/x
 
 \'Sperimentalmente\' dovrebbe essere compreso tra 0.60792 e 0.60793
 
 phi(x) è il numero di numeri primi con x e minori di x
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 io guarderi quella quantità come una media: è la media delle probabilità che un numero pescato a caso sia primo con il numero i, al variare di i fra tutti naturali. Mediando fra tutti quanti, trovi la probabilità che due naturali \"a casaccio\" siano primi fra loro, e di ciò per l\'appunto si era parlato giusto qualche giorno fa. Se cerchi fra i msg vecchi lo ritrovi. Ha a che fare con la fattorizzazione Eulero e con zeta(2)!
 
 p.s. La tua stima era parecchio precisa!

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

uhm... già già
 tutto tornerebbe...
 e in effetti qualcosina di carino si cava fuori.
 sviluppiamo phi(i)/i = prod (1 - 1/pj).
 ora sviluppiamo questa cosa qui, e sommiamola per tutti gli i.
 risulterà qualcosa tipo x*1 - (1/2 * x/2 + 1/3 * x/3 + 1/5*x/5..) + (1/6 * x/6 + 1/10 * x/10 + ... + 1/15 * x/15 + ...) - ...
 insomma il limite cercato parrebbe essere prod (1 - 1/pj²)...
 casualmente, questo può essere visto come 1/[prod sum 1/pj2k], cioè esattamente 1/z(2)...
 molto figo.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 sviluppiamo phi(i)/i = prod (1 - 1/pj).
 ora sviluppiamo questa cosa qui, e sommiamola per tutti gli i.
 risulterà qualcosa tipo x*1 - (1/2 * x/2 + 1/3 * x/3 + 1/5*x/5..) + (1/6 * x/6 + 1/10 * x/10 + ... + 1/15 * x/15 + ...) - ...
 insomma il limite cercato parrebbe essere prod (1 - 1/pj²)...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Potresti spiegare questi passaggi x favore?
 
 No scusa ho capito.
 
 P.S.: (1+1/p1)(1+1/p2)(1+...) tende a +inf poikè è sicuramente maggiore di 1+1/p1+1/p2+... che sappiamo tendere a infinito [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 08-04-2004 09:12 ]

Phi