Phi

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Provate a risolvere questo limite (visto ke io non ci riesco):
<BR>
<BR>lim<sub>x-->+inf</sub> [sum<sub>i=1-->x</sub> phi(i)/i]/x
<BR>
<BR>\'Sperimentalmente\' dovrebbe essere compreso tra 0.60792 e 0.60793
<BR>
<BR>phi(x) è il numero di numeri primi con x e minori di x

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 01 gen 1970, 01:33

Credo si aggiri appena sopra la decina.
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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto come fai a sapere che esiste?
<BR>
<BR>e ammesso che esista some si può computare visto phi(i) dipende solo dalla scomposizione in primi di i e non ha alcun legame con phi(i+1)?

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

uhm... esiste perché è minore di 1 e maggiore di 0, principalmente.
<BR>cosa abbastanza facile da dimostrare...
<BR>quanto alla computazione... beh, con qualche altro limite notevole (distribuzione di primi) e un pizzico di inclusione-esclusione, penso si possa trarre qualche conclusione migliore..

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Avevo pensato che forse c\'era una possibilità visto che phi(x) è moltiplicativa cioè phi(xy)=phi((x,y)) ma non so se esistano formule per questo tipo di funzioni.
<BR>Ricordo inoltre che se p1, p2, p3....pn sono i primi che dividono x allora phi(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pn)

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Forse c\'è un\'idea... basta creare una f(n) moltiplicativa tale che sum[n>0]f(n) sia convergente e si può applicare il prodotto di eulero.
<BR>purtroppo phi(n)/n è moltiplicativa ma non è convergente la sommatoria e phi(n)/nx nn è moltiplicativa. mah!!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 30-03-2004 22:53 ]

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 01 gen 1970, 01:33

Eh sì, quel limite esiste, si riesce a calcolare ed è pure un bel numero.
<BR>Per calcolarlo si usa qualcosa di un po\' avanzato (ma non molto).
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

si potrebbe però trovare il limite della sommatoria di phi(i)/i² mi pare
<BR>No, mi sbaglio... credo
<BR>
<BR>viene la produttoria di (1+1/p) per tutti i primi ma non so se è un qualcosa di notevole....
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 30-03-2004 23:39 ]

PFR
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Messaggio da PFR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-03-30 21:36, Simo_the_wolf wrote:
<BR>
<BR>lim<sub>x-->+inf</sub> [sum<sub>i=1-->x</sub> phi(i)/i]/x
<BR>
<BR>\'Sperimentalmente\' dovrebbe essere compreso tra 0.60792 e 0.60793
<BR>
<BR>phi(x) è il numero di numeri primi con x e minori di x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>io guarderi quella quantità come una media: è la media delle probabilità che un numero pescato a caso sia primo con il numero i, al variare di i fra tutti naturali. Mediando fra tutti quanti, trovi la probabilità che due naturali \"a casaccio\" siano primi fra loro, e di ciò per l\'appunto si era parlato giusto qualche giorno fa. Se cerchi fra i msg vecchi lo ritrovi. Ha a che fare con la fattorizzazione Eulero e con zeta(2)!
<BR>
<BR>p.s. La tua stima era parecchio precisa!
La matematica è 50% calcoli, 50% ragionamento, 50% immaginazione.

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

uhm... già già
<BR>tutto tornerebbe...
<BR>e in effetti qualcosina di carino si cava fuori.
<BR>sviluppiamo phi(i)/i = prod (1 - 1/p<sub>j</sub>).
<BR>ora sviluppiamo questa cosa qui, e sommiamola per tutti gli i.
<BR>risulterà qualcosa tipo x*1 - (1/2 * x/2 + 1/3 * x/3 + 1/5*x/5..) + (1/6 * x/6 + 1/10 * x/10 + ... + 1/15 * x/15 + ...) - ...
<BR>insomma il limite cercato parrebbe essere prod (1 - 1/p<sub>j</sub>²)...
<BR>casualmente, questo può essere visto come 1/[prod sum 1/p<sub>j</sub><sup>2k</sup>], cioè esattamente 1/z(2)...
<BR>molto figo.

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>sviluppiamo phi(i)/i = prod (1 - 1/p<sub>j</sub>).
<BR>ora sviluppiamo questa cosa qui, e sommiamola per tutti gli i.
<BR>risulterà qualcosa tipo x*1 - (1/2 * x/2 + 1/3 * x/3 + 1/5*x/5..) + (1/6 * x/6 + 1/10 * x/10 + ... + 1/15 * x/15 + ...) - ...
<BR>insomma il limite cercato parrebbe essere prod (1 - 1/p<sub>j</sub>²)...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Potresti spiegare questi passaggi x favore?
<BR>
<BR>No scusa ho capito.
<BR>
<BR>P.S.: (1+1/p<sub>1</sub>)(1+1/p<sub>2</sub>)(1+...) tende a +inf poikè è sicuramente maggiore di 1+1/p<sub>1</sub>+1/p<sub>2</sub>+... che sappiamo tendere a infinito<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 08-04-2004 09:12 ]

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