Come si dimostra che se la serie {An} e\' assolutamente
<BR>convergente lo e\' anche la serie {An/(1+An)}?
<BR>
Serie
Moderatore: tutor
Dunque se A<sub>n</sub> per n --> inf è sempre più prossimo allo zero, e sapendo che a<sub>n</sub>+1 è dunque sempre maggiore di 1, la frazione A<sub>n</sub>/(A<sub>n</sub>+1) sarà minore di A<sub>n</sub>.
<BR>Per altri casi basta modificare il ragionamento opportunamente.
<BR>Per altri casi basta modificare il ragionamento opportunamente.
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...
My Selene - Sonata Arctica
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
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Se la serie relativa ai termini della successione A(n) converge assolutamente, il limite per n che tende all\'infinito del termine A(n) è 0 (questa è una condizione necessaria). Inoltre, se tale successione converge assolutamente, vale il criterio del rapporto, per cui il limite del valore assoluto di A(n+1)/A(n) non può essere maggiore di 1 (altrimenti la successione non convergerebbe).
<BR>Applicando, dunque il criterio del rapporto alla serie che ha per termine generale A(n)/1+A(n), si ritrova che il limite di valore assoluto di [A(n+1)*(1+A(n))/(1+A(n+1))*A(n)] è proprio uguale al limite della serie precedente, poiché il limite di [1+A(n)]/[1+A(n+1)] è uguale a 1.
<BR>Applicando, dunque il criterio del rapporto alla serie che ha per termine generale A(n)/1+A(n), si ritrova che il limite di valore assoluto di [A(n+1)*(1+A(n))/(1+A(n+1))*A(n)] è proprio uguale al limite della serie precedente, poiché il limite di [1+A(n)]/[1+A(n+1)] è uguale a 1.
Per quello che ne so, la condizione lim[A(n+1)/An]<1 e\' sufficiente ma
<BR>non necessaria per la convergenza ;pertanto il fatto che la serie data sia assol.convergente non implica necessariamente che sia lim[A(n+1)/An]<1
<BR>(questo limite potrebbe essere 1 o non esistere)
<BR>Cio e\' dimostrato ,ad es. ,dalla serie armonica generalizzata {1/n^2}
<BR>la quale,come e\' noto,converge ma risulta lim[A(n+1)/An]=1
<BR>come e\' facile verificare.
<BR>E\' questo che mi ha fatto arenare.Dove sbaglio?.
<BR>Grazie a tutti.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 19-03-2004 14:22 ]
<BR>non necessaria per la convergenza ;pertanto il fatto che la serie data sia assol.convergente non implica necessariamente che sia lim[A(n+1)/An]<1
<BR>(questo limite potrebbe essere 1 o non esistere)
<BR>Cio e\' dimostrato ,ad es. ,dalla serie armonica generalizzata {1/n^2}
<BR>la quale,come e\' noto,converge ma risulta lim[A(n+1)/An]=1
<BR>come e\' facile verificare.
<BR>E\' questo che mi ha fatto arenare.Dove sbaglio?.
<BR>Grazie a tutti.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 19-03-2004 14:22 ]
C\'è un modo migliore....
<BR>Poiché la serie degli A(n) converge, ha termine infinitesimo. Consideriamo le serie dei valori assoluti delle due serie: se A(n) è infinitesimo, il termine generico della prima serie è asintotico (per n tendende all\'infinito) a quello della seconda(si dice che due funzioni sono asintotiche, se il limite - per n che tende all\'infinito - del loro rapporto è 1). Per il CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO, le due serie hanno il medesimo carattere, da cui la conclusione che la seconda serie converge assolutamente.
<BR>Poiché la serie degli A(n) converge, ha termine infinitesimo. Consideriamo le serie dei valori assoluti delle due serie: se A(n) è infinitesimo, il termine generico della prima serie è asintotico (per n tendende all\'infinito) a quello della seconda(si dice che due funzioni sono asintotiche, se il limite - per n che tende all\'infinito - del loro rapporto è 1). Per il CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO, le due serie hanno il medesimo carattere, da cui la conclusione che la seconda serie converge assolutamente.