piramidi e sezioni

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

una sezione piana di una piramide regolare a base quadrata è un pentagono regolare di lato L
<BR>
<BR>determinare il volume della piramide
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

beh, pongo la domanda a chi ha posto il problema: per piramide regolare intendi che ha tutti gli spigoli di egual lunghezza?

edony
Messaggi: 204
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Salerno

Messaggio da edony » 01 gen 1970, 01:33

Mi piace sto problema solo che nn riesco a raccapezzarmi, cmq per piramide regolare credo che si intenda che il poligono di base è circoscrittibile a una circonfereneza, e il centro di questa è il piede dell\'altezza

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-29 17:36, edony wrote:
<BR>cmq per piramide regolare credo che si intenda che il poligono di base è circoscrittibile a una circonfereneza, e il centro di questa è il piede dell\'altezza
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>exactly, in più la base della piramide è un poligono regolare
<BR>[se è verificata la tua condizione ma non la mia, la piramide si dice RETTA]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Non riuscendo ad immaginare come si possa
<BR>ottenere, con un solo taglio,una sezione pentagonale
<BR>(regolare) da una piramide quadrangolare regolare,
<BR>ho pensato che la cosa si possa fare con piu\' tagli
<BR>( uno dei quali operato col piano individuato dal vertice
<BR>della piramide e dalla diagonale di base).
<BR>In questa ipotesi,non so quanto valida,ho realizzato il
<BR>seguente risultato:
<BR>V=L^3/(12)*((1+sin18°)/(sin18°))^(3)*tg36°
<BR>od anche:
<BR>V=L^3/12*(2+sqrt(5))^3*sqrt(5-2sqrt(5)).
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Avatar utente
Antimateria
Messaggi: 651
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vergate sul Membro

Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-03-01 13:46, karl wrote:
<BR>Non riuscendo ad immaginare come si possa
<BR>ottenere, con un solo taglio,una sezione pentagonale
<BR>(regolare) da una piramide quadrangolare regolare,
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La piramide ha 5 facce, quindi il piano deve necessariamente intersecarle tutte e 5. Non è difficile, con un disegnino davanti, rendersi conti di come debba essere messo quel piano. Ora, il problema è fare in modo che il pentagono sia regolare, e dimostrare che il volume della piramide non dipende dal suo lato. E tutto questo ha l\'aria di una montagna immensa di conti!
<BR>A meno che talpuz non voglia darci qualche dritta... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

J4Ck202
Messaggi: 196
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

In realtà non sono poi così tanti conti.. solo che in assenza di
<BR>disegno è un po\' casino spiegarsi...
<BR>Cominciamo col dire che il piano \"sezionatore\" deve intersecare
<BR>la base della piramide in una retta che sia perpendicolare ad una
<BR>delle due diagonali del quadrato, altrimenti la simmetria del
<BR>pentagono va a farsi benedire. Ora prendiamo un bel pentagono
<BR>regolare A\'B\'C\'D\'E\', e chiamiamo M il punto medio di A\'B\' ed N il punto
<BR>medio di CE. Ora poniamo
<BR>k[1] = C\'E\'/A\'B\'
<BR>k[2] = MN/A\'B\'
<BR>k[3] = D\'M/MN
<BR>tutte queste costanti si esprimono come funzioni goniometriche
<BR>dell\'angolo di 36°. Ora prendiamo la nostra piramide quadrata con
<BR>vertice V, base ABCD, centro della base O, piano sezionatore
<BR>gamma. Gamma intersecherà AB in P, AD in Q, VB in R, VD in S
<BR>e VC in T, e tutta la costruzione sarà simmetrica rispetto al piano VBD.
<BR>Fissato il lato del pentagono PQ, fissiamo automaticamente RS, in
<BR>quanto dev\'essere RS= k[1] PQ. Ma, detti H e W i punti medi di
<BR>PQ ed RS, dev\'essere pure HW = k[2] PQ, e questa relazione
<BR>determina univocamente la posizione dei punti P e Q (detto alfa
<BR>l\'angolo ^VAC è facile fare i conti). Ma ci serve pure
<BR>PW = k[3] WH
<BR>e questa identità detta quanto debba essere alfa (l\'unico
<BR>parametro rimasto \"libero\") dunque ci dice a quanto ammonta
<BR>il volume della piramide in funzione del lato del pentagono.
<BR>
<BR>

J4Ck202
Messaggi: 196
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

In realtà credo si possa anche far tutto in 2d considerando lo
<BR>sviluppo piano della piramide, c\'è solo da studiare cosa
<BR>diventa la condizione di complanarità delle rette PQ ed RS con
<BR>il punto T... mi industrierò.

MaMo
Messaggi: 54
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema si trova a pag. 196 del libro \"le olimpiadi della matematica\" II edizione.
<BR>Io l\'ho risolto tempo fa e vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.
<BR>Ponendo il lato del pentagono uguale ad 1, il volume della piramide mi viene:
<BR>V = 3/4 + sqrt(5)/3.

Avatar utente
Antimateria
Messaggi: 651
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vergate sul Membro

Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-03-01 20:16, MaMo wrote:
<BR>Questo problema si trova a pag. 196 del libro \"le olimpiadi della matematica\" II edizione.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ah, la sezione di miscellanea!
<BR>In questa sezione vi sono problemi non originali, oppure originali ma per qualche motivo giudicati inadatti alle gare. Per quanto riguarda il problema della piramide, direi che siamo nella seconda categoria, a causa dell\'esorbitante quantità di conti apparentemente necessari per risolverlo.
<BR>Ok, il metodo di Jack funge, ma fornisce solo un algoritmo per trovare il risultato. Dubito che si possa calcolare effettivamente il risultato seguendo quel metodo senza produrre una pagina di calcoli. D\'altra parte, dubito anche che esistano soluzioni più efficienti!
<BR>Qualche altra idea?

Avatar utente
bh3u4m
Messaggi: 547
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Milano

Messaggio da bh3u4m » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Antimateria wrote:
<BR>
<BR>Qualche altra idea?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Prendere del pongo, un fogli di carta e diseganrci il pentagono regolare. Costruire una piramide col pongo e misurare con un righello le dimensioni.
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...

My Selene - Sonata Arctica

Avatar utente
Antimateria
Messaggi: 651
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vergate sul Membro

Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

Stupefacente, bh3u4m!
<BR>In effetti questo risparmia la paginata di conti, ma come la mettiamo con il foglio sprecato per disegnare il pentagono? Dopo averlo disegnato vorrai anche tagliuzzarlo onde meglio costruirci sopra la piramide, e così invece di sprecare un solo lato del foglio, tu me ne sprechi 2!!! E non tirare fuori la scusa che tanto usi la carta riciclata, perchè è l\'atto in sè ad essere vergognoso e deplorevole.[addsig]

sprmnt21
Messaggi: 559
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

per piramide a base quadrata regolare, si intende quella che ha per facce laterali dei triangoli equilateri?
<BR>
<BR>perche\' se e\' cosi avrei un\'idea per \"accorciare\" i conti.
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 02-03-2004 15:59 ]
<BR>
<BR>
<BR>come non detto: ho riflettuto ancora sulla figura e mi sono convinto del fatto che una piramide regolare con tutti gli spigoli uguali da\' troppi vincoli sul problema. comunque sia l\'idea puo\' essere ancora utile.
<BR>
<BR>si tratta di questo: se ho capito bene cosa si intende per piramide regolare, per determinarla basta conoscere il triangolo isoscele VBD della descrizione di Jack (anche se pure la\' non mi e\' completamente chiara la figura a cui lui fa riferimento - ABCD e\' da intendersi in senso antiorario o al contrario?).
<BR>
<BR>Su triangolo VBD si mappi mediante rotazione tutto quello che sta sul triangolo ortogonale VAC. a questo punto il problema e\' \"spianato\".
<BR>
<BR>Bisogna risolvere una cosa del tipo seguente:
<BR>
<BR>
<BR>Determinare un triangolo isoscele VBD di altezza(=mediana) VO tale che se P e\' un punto su VO e TR la corda (del traingolo) per P parallela alla base BD ed SM un\'altra corda per P con S su VD ed M su BD, si abbia che BM sia la meta\' del lato del pentagono e PS e PM sia uguali ai segmenti del pentagono che descrivero di seguito (che casino di spiegazione!!! ma ho tanta fretta e non posso essere piu\' sintetico e preciso)
<BR>
<BR>Se PQRST e\' il pentagono M e\' il punto medio di PQ e P e\' l\'intersezione di SM con RT.
<BR>
<BR>
<BR>PS
<BR>
<BR>chiedo scusa a chiunque sia arrivato a leggere fino a qua.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 02-03-2004 16:57 ]

MaMo
Messaggi: 54
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da MaMo » 01 gen 1970, 01:33

Sprmnt21, nella soluzione da me trovata la piramide ha tutti gli spigoli uguali di lunghezza:
<BR>s = sqrt(2)(3 + sqrt(5))/4.
<BR>In effetti, però, questa è una conclusione, non un punto di partenza.

Avatar utente
Antimateria
Messaggi: 651
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vergate sul Membro

Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

MaMo, se la piramide che hai preso ha gli spigoli tutti uguali, dubito che il pentagono che hai trovato sia regolare. Ti faccio solo notare che affinchè un poligono sia regolare non è sufficiente che abbia tutti i lati uguali...
<BR>Prova a rivedere i tuoi conti, se hai voglia postali anche qui!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 02-03-2004 19:24 ]

Bloccato