Teoria dei numeri

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

ma_go, ripropongo il tuo problema...mi piace
<BR>
<BR>dimostrare che per ogni primo p>2 esiste una ed una sola coppia di interi positivi tali che
<BR>m<sup>2</sup>=n(n+p), e trovare tale coppia in funzione di p.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 24-02-2004 18:18 ]

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

carino <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Se p=2k+1, n=k<sup>2</sup>, m=k(k+1) (p>2)
<BR>Per l’unicità : si verifica facilmente che nè m, nè n possono essere multipli di p
<BR>Supponiamo che m<sup>2</sup>=n(n+p) e k<sup>2</sup>=h(h+p) con m=\\=k, n=\\=h e per simmetria n>h, m>k
<BR>
<BR>Allora p=(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)/n=(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)/h
<BR>
<BR>Da cui h(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)=n(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>Quindi h|n o h| k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>
<BR>
<BR>Nel secondo caso, anche h|k, e quindi h|p, assurdo
<BR>
<BR>Quindi h|n => n=jh (j>1) => h(m<sup>2</sup>-(jh)<sup>2</sup>)=jh(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>(m<sup>2</sup>-(jh)<sup>2</sup>)=j(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>quindi j|(m<sup>2</sup>-(jh)<sup>2</sup>), da cui segue che j|m
<BR>
<BR>ma se j|n e j|m, allora j|p, assurdo
<BR>
<BR>quindi j=1, n=h e m=k
<BR>
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

Giulia89
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Messaggio da Giulia89 » 01 gen 1970, 01:33

Ma siete pazzi? uffa parlate solo di mate! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
Giuly

bobby_fischer
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Messaggio da bobby_fischer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-24 20:48, Giulia89 wrote:
<BR>Ma siete pazzi? uffa parlate solo di mate! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Questo è il sito delle Olimpiadi della Matematica.
<BR>Questa è la categoria del forum \"Proponi gli esercizi\".
<BR>Se non ti va bene, vai nella categoria \"Non solo matematica\" e se ti sembriamo pazzi anche lì sei libera di andartene.
<BR>Scusami per il mio sfogo un po\' duro ma non capisco di cosa vuoi parlare in un forum sugli esercizi di matematica!!
<BR>Ciao
<BR>Nick

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Non si può entrare due volte nello stesso fiume (Erodoto)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ma non era Eraclito?

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-24 21:20, Antimateria wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Non si può entrare due volte nello stesso fiume (Erodoto)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ma non era Eraclito?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Era appunto Eraclito, forse intendeva fare dell\'umorismo sugli autori, l\'avrà scritto apposta.
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...

My Selene - Sonata Arctica

Giulia89
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Messaggio da Giulia89 » 01 gen 1970, 01:33

Scusa nick, non volevo offendere! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [addsig]
Giuly

bobby_fischer
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Messaggio da bobby_fischer » 01 gen 1970, 01:33

Oops,
<BR>Intanto, l\'orribile firma era mia e non so perchè si è infilato lì quando ho quotato il messaggio di Giulia89...
<BR>era Eraclito? Chiedo scusa ma avevo trovato la citazione sul mio ex raccoglitore fdi francese che a quanto pare non era molto bene informato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>Comunque quella citazione mi fra davvero schifo ma non ho trovato altro...
<BR>Ciao
<BR>Nick
<BR>P.S. La tolgo subito, potrebbe fare altri danni facendosi vedere in giro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

febiz2004
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Messaggio da febiz2004 » 01 gen 1970, 01:33

avevo scritto una cavolata...scusate<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: febiz2004 il 25-02-2004 18:50 ]

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info
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Oppure, usando un metodo più diretto.
<BR>n ed (n+p) nn hanno fattori in comune a parte 1 e p. infatti se
<BR>
<BR>a/p (leggasi a divide p) e
<BR>a/(n+p)
<BR>allora a/n+p-n -->a/p.
<BR>
<BR>Se n ed n+p hanno come fattore comune p allora
<BR>n=kp n+p=kp+p sostituendo
<BR>m^2=p^2*K(k+1)
<BR>cioè k(k+1) deve essere un quadrato: assurdo.
<BR>
<BR>n ed n+p sono quindi primi tra loro--->n è un quadrato.
<BR>L\'uguaglianza diventa m^2=k^2*(k^2+p)
<BR>Dimostriamo che esistono solo 2 quadrati che differiscono di p per dimostrare l\'unicità della soluzione.
<BR>Se
<BR> k^2+p=c^2
<BR>allora p=(c+k)(c-k) [c+k>1]
<BR>da cui c-k=1--->c=k+1 [p è primo]
<BR>Sostituendo il valore di c si trova p=2k+1, ovverosia k=(p-1)/2.
<BR>Cioè, dato un primo p, solo quel valore di k soddisfa il problema.
<BR>Ricordando cosa era k, si trova la sol di Talpuz.
<BR>
<BR> Ciao

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

la soluzione che avevo fatto io era uguale a quella di Info, ma vedo che anche quella di Talpuz dovrebbe funzionare, ma non capisco una cosa:
<BR>tu dici:
<BR>
<BR>Allora p=(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)/n=(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)/h
<BR>
<BR>Da cui h(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>)=n(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)
<BR>
<BR>Quindi h|n o h| k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>
<BR>
<BR>ma se h non è primo potrebbe avere fattori che dividono n e altri che dividono k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>.
<BR>...l\'ho letta adesso velocemente, quindi molto probabilmente mi sbaglio
<BR>
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 26-02-2004 13:32 ]

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

invece hai perfettamente ragione, Biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>cmq (mi sembra) basta modificare la cosa in questo modo: sia z un fattore comune a h e k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>
<BR>
<BR>allora z|h e z|k, da cui z|p, assurdo
<BR>
<BR>quindi h|n, e da qui dovrebbe andare
<BR>
<BR>grazie per l\'osservazione cmq!
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

ok, allora..
<BR>giusto per amore della correttezza, la mia soluzione non funziona <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>se h e k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup> sono coprimi, p=(k<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>)/h è frazionario..
<BR>
<BR>vabbè, amen..
<BR>
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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