E\' un esercizio facilissimo, ma non mi esce!
<BR>
<BR>Determinate un polinomio p(x) di quarto grado tale che:
<BR>a) si annulli solo nel punto x=2
<BR>b) la curva di equazione y=p(x) sia tangente nel punto (0,4) alla retta y=4
<BR>c) assuma il valore p(1)=4
<BR>
<BR>Ho provato in diversi modi, ma mi esce sempre lo stesso risultato:
<BR>x^4-2x^3-3x^2+4x+4
<BR>che però contrasta con il punto a [x^4-2x^3-3x^2+4x+4=(x-2)^2(x+1)^2]
<BR>
<BR>Che dite?
POLINOMIO
Moderatore: tutor
Il polinomio si annulla per x=2,pertanto dividendolo per x-2
<BR>si ottiene un polinomio di terzo grado che essendo di grado dispari
<BR>deve annullarsi ancora in R.Tale ulteriore radice non puo\' che essere
<BR>di nuovo x=2 per ipotesi e pertanto il nostro polinomio sara del tipo
<BR>p(x)=(x-2)^2*(ax^2+bx+c) .
<BR>Imponiamo ora che p(0)=4,ne segue:
<BR>4=4c---->c=1 onde p(x)=(x-2)^2*(ax^2+bx+1).Imponiamo ora che
<BR>p(1)=4,ne segue:
<BR>4=a+b+1----->b=3-a.Imponiamo ora che p\'(0)=0,ne segue:
<BR>[2(x-2)(ax^2+(3-a)x+1)+(x-2)^2(2ax+3-a)](x=0)=0,da cui:
<BR>-4+4(3-a)=0--->a=2 .Concludendo:
<BR>p(x)=(x-2)^2*(2x^2+x+1).
<BR>
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<BR>si ottiene un polinomio di terzo grado che essendo di grado dispari
<BR>deve annullarsi ancora in R.Tale ulteriore radice non puo\' che essere
<BR>di nuovo x=2 per ipotesi e pertanto il nostro polinomio sara del tipo
<BR>p(x)=(x-2)^2*(ax^2+bx+c) .
<BR>Imponiamo ora che p(0)=4,ne segue:
<BR>4=4c---->c=1 onde p(x)=(x-2)^2*(ax^2+bx+1).Imponiamo ora che
<BR>p(1)=4,ne segue:
<BR>4=a+b+1----->b=3-a.Imponiamo ora che p\'(0)=0,ne segue:
<BR>[2(x-2)(ax^2+(3-a)x+1)+(x-2)^2(2ax+3-a)](x=0)=0,da cui:
<BR>-4+4(3-a)=0--->a=2 .Concludendo:
<BR>p(x)=(x-2)^2*(2x^2+x+1).
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