3 problemi \"normali\"

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

A questo punto non mi posso trattenere...
<BR>: il prossim\'anno quindi... saresti fra i possibili candidati alla sns?
<BR>perché la tua prontezza nel rispondere al quesito mi ha lasciato di... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [addsig]
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publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione dell\'IMO la si trova su kalvaa... ma che bello, forse usando un po\' di teoria dei gruppi viene in poco tempo

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

ah che vergogna ora sì che mi sento piccolo e inesperto...
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>beh, è anche più comodo... Ho ancora qualcuno che mi spieghi quel che non capisco... Se solo l\'avessi incontrata prima [la vergine Matematica]!!!
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Ma ormai non mi sfugge più (almeno per qualche mese)! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Sono curioso di vedere la dimostrazione dell\'ultimo problema... mi pare geniale [non la dimostrazione: la formula][addsig]
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tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Sinceramente invidiate l\'organizzazione didattica giapponese dove (per quello che ho capito) chi vuole può fare esclusivamente matematica [mi sembra ci siano dei corsi di vari anni apposta per chi vuol vincere le IMO]?
<BR>
<BR>Sicuramente vengono fuori degli ottimi \"problem solvers\", ma... Vanno oltre la tecnica superba?
<BR>
<BR>---
<BR>ashikarazu[addsig]
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tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Ma ho ancora troppo da imparare.
<BR>Quindi penso che staccherò la presa del modem e tornerò nel faro.
<BR>
<BR>Disperso e sicuro.
<BR>
<BR>DOBRE NOCIE
<BR>
<BR>P.S. dimostrare che k^2!=2 (mod 3) per qualsiasi k <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [addsig]
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zucco
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Messaggio da zucco » 01 gen 1970, 01:33

Oddio, leggendo i precedenti post mi viene da dire \"scusate la banalità della domanda\", ma non ho la più pallida idea di come fare l\'esercizio 12 del giornalino 10?
<BR>
<BR>f(x) = f(x^2+x+1)
<BR>
<BR>Come faccio a trovare le funzioni suddette? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

qualche prova suggerisce la via, poi basta l\'induzione
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-16 18:30, tmart wrote:
<BR>Dati x, y, z numeri qualsiasi dimostrare che
<BR>x+y+z=sqrt(zx+(y+z)^2+x*sqrt(z(x+y)+(y+z)^2+(x+y)*sqrt(z(x+2y)+(y+z)^2+(x+2y)*sqrt(...))))
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Uhm... mmmh... bah... moh... davvero non saprei... ché d\'altro canto doverci pensare mi dà noia, mi scoccia e per di più m\'indispettisce, e pertanto... poiché nutro qualche riserva sul merito della formulazione originale del problema proposto da questo simpaticissimo ragazzotto della classe \'87, facciamo così...
<BR>
<BR>Supponiamo che siano x, y, z dei numeri <!-- BBCode Start --><B>reali positivi</B><!-- BBCode End --> e assumiamo corrispondentemente, per ogni n€N ed ogni m = 0, 1, ..., n:
<BR>
<BR>f<sub>n</sub><sup>(m)</sup>(x,y,z) := sqrt[z(x+my)+(y+z)<sup>2</sup>+(x+my)*sqrt[z(x+(m+1)y)+(y+z)<sup>2</sup>+(x+(m+1)y)*sqrt[z(x+(m+2)y)+...+(x+(n-1)y)*sqrt[z(x+ny)+(y+z)<sup>2</sup>+(x+ny)]...]]]
<BR>
<BR>Poniamo quindi f<sub>n</sub>(x,y,z) := f<sub>n</sub><sup>(0)</sup>(x,y,z). Faccio osservare che la successione di funzioni {f<sub>n</sub>(x,y,z)} così introdotta, limitatamente ad un <!-- BBCode Start --><I>opportuno</I><!-- BBCode End --> sottoinsieme X <!-- BBCode Start --><I>non vuoto</I><!-- BBCode End --> dei reali, è stata definita (in verità) con un certo grado d\'arbitrio, nel tentativo di dare (se non una soluzione....) una <!-- BBCode Start --><B>formulazione</B><!-- BBCode End --> comunque Matematica (= rigorosa?!?) ad un problema che, per quanto io ne capisca... mi si perdoni la pochezza..., continua a non piacermi, dacché pessimamente \"inquadrato\"...
<BR>
<BR>Si vorrebbe... dimostrare che: lim<sub>n-->+inf</sub> f<sub>n</sub>(x,y,z) = x+y+z, ovvero che:
<BR>
<BR>p.o. ε > 0, esiste v(ε)€N t.c. p.o. n > v(ε): |x+y+z - f<sub>n</sub>(x,y,z)| < ε
<BR>
<BR>In tal senso, si cominci con l\'osservare che, per ogni n€N:
<BR><font color=white><center>...incrociando gli alluci nella speranza di non aver cannato qualche conto...</center></font>
<BR>x+y+z - f<sub>n</sub>(x,y,z) = [x+(n+2)y+z-1]*(prod[k=0...n] (x+ky))/
<BR>/(prod[k=0...n] (x+(k+1)y+z+f<sub>n</sub><sup>(k)</sup>(x,y,z)))
<BR>
<BR>Ora, operando opportune maggiorazioni, si dovrebbe determinare (uso il condizionale perché sto procedendo più che altro a senso, per non togliere al nostro amico tmart il piacere di verificare la correttezza delle mie asserzioni... siccome mi è parso di capire, piiiiccolo, che ci avresti taaanta voglia d\'imparare, beh son certo me ne sarai grato, visto che te ne sto offrendo il modo...):
<BR>
<BR>~([x+(n+2)y+z-1]*(prod[k=0...n] (x+ky))) ≤ ~((x+y)<sup>n+1</sup>(n+1)!)
<BR>
<BR>ove \"~\" indica la relazione di equivalenza sulla classe delle successioni <!-- BBCode Start --><I>numeriche</I><!-- BBCode End --> reali divergenti ad infinito per n --> +inf e \"≤\" significa (qui) che il membro di sinistra nella relazione precedente è un infinito d\'ordine non maggiore del membro di destra! Orbene, non mi stupirei, a questo punto, se una stima asintotica e piuttosto grossolana, ottenuta per via d\'opportune minorazioni o a mezzo di iterate espansioni in serie..., riuscisse a dimostrare che:
<BR>
<BR>~(prod[k=0...n] (x+(k+1)y+z+f<sub>n</sub><sup>(k)</sup>(x,y,z)))) > ~((x+y)<sup>n+1</sup>(n+1)!)
<BR>
<BR>completando a questo modo la dimostrazione dell\'asserto... che tuttavia non è generalizzabile (per tutta una serie di problemi che ho omesso di evidenziare dacché m\'incresco...) al caso in cui x,y,z non siano dei numeri <!-- BBCode Start --><B>reali positivi</B><!-- BBCode End -->!!! Speranzoso di non aver scritto troppe cazzate, per il momento... ti saluto <!-- BBCode Start --><I>cordialmente</I><!-- BBCode End -->, tmart... o chiunque tu sia...
<BR>
<BR>Salvo alias euler_25
<BR>
<BR>EDIT: ah, quasi dimenticavo... che sbadato... <!-- BBCode Start --><B>ghghgh</B><!-- BBCode End -->... se non sbaglio, quest\'era uno dei k problemi irrisolti su cui tmart si stava concentrando... chi sa se vi ha trovato soluzione, piiiiccolo... <!-- BBCode Start --><B>ghghgh</B><!-- BBCode End -->...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 02-03-2004 01:07 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-16 20:01, tmart wrote:
<BR>P.S. dimostrare che k^2!=2 (mod 3) per qualsiasi k <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Oh dio... ma questo è un vero strazio... boh, chi ci capisce più niente... pensavo che fosse... e invece... bah... ghghgh...
<BR>
<BR>Ora, dalla teoria delle congruenze quadratiche, è noto che l\'equazione modulare: k^2 ≡ 2 (mod 3) è risolvibile (in interi) se: Jacobi(2, 3) = 1, ove Jacobi(2, 3) indica il simboli di Jacok Jacobi di numeratore 2 e denominatore 3 (porca paletta, che nome fighissimo ci aveva sto tizio!). E tuttavia, da un celeberrimo lemma dovuto al sommo Karl Friedrich Gauss (quello autentico, s\'intende...), si scopre che il carattere quadratico di 2 modulo p, quando p è un numero primo di valenza dispari, è pari a: (-1)<sup>(p<sup>2</sup>-1)/8</sup>, sicché (per p = 3): Jacobi(2, 3) = -1, e l\'equazione modulare: k<sup>2</sup> ≡ 2 (mod 3) non ammette alcuna soluzione (sugli interi).<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 17-02-2004 23:56 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Non ho capito bene cosa tu intenda con \"pessima inquadratura\"...
<BR>Comunque...Ecco la strada che sto seguendo:
<BR>Dato che <!-- BBCode Start --><B>n^2=(n-1)(n+1)+1</B><!-- BBCode End -->, ponendo n+1 al posto di n avremo
<BR>(n+1)^2=n(n+2)+1
<BR>e continuando
<BR>(n+2)^2=(n+1)(n+3)+1
<BR>e chi ci vieta di sostituire a (n+2) della seconda espressione la radice di (n+1)(n+3)+1? E chi ci vieta di farlo con n+3? Così mi esprimo perché non ho altri mezzi.
<BR>
<BR>(n+2)^2=(n+1)(n+3)+1=n(n+3)+n+3+1=n(n+3)+(n+4);
<BR>(n+3)^2=(n+2)(n+4)+1=n(n+4)+2n+8+1=n(n+4)+(2n+9);
<BR>(n+4)^2=(n+3)(n+5)+1=n(n+5)+3n+15+1=n(n+5)+(3n+16)...
<BR>Questo mi fa venire in mente...
<BR>(n+3+1)^2=n(n+3+1+1)+3n+(3+1)^2 ovvero
<BR>(n+m+1)^2=n(n+m+1+1)+mn+(m+1)^2 o anche
<BR>(n+m+h)^2=n(n+m+2h)+nh+(m+h)^2
<BR>
<BR>---PAUSA[continuo domani dopo le Oli---[addsig]
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Ho due problemi, come al solito le mie soluzioni non mi sembrano eleganti quindi... eccomi qui.
<BR>
<BR>I - Se a, b sono interi mostrare che
<BR>(a+1/2)^n + (b+1/2)^n
<BR>è intero solo per finiti n
<BR>
<BR>II - Per n intero positivo, r(n) indica la somma dei resti di n diviso 1, 2, 3,..., n
<BR>Dimostrare che r(k) = r(k-1) per infiniti k positivi[addsig]
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Informazione Gratuita: se lo desiderate ho \"Disquisitiones Arithmeticae\" di Gauss, visto che Euler (ah, vedo che hai <!-- BBCode Start --><I>apprezzato</I><!-- BBCode End --> il TAG aperto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)...ne parlava <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Poi ho Synopsis of pure mathematics di Brooke... 1820 circa. ma questo non credo interessi... Chiaramente sono PDF, quindi they\'re free<font color=white> e ho anche Theory of Numbers di Hardy<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 07-03-2004 11:59 ]
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livingbooks
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Messaggio da livingbooks » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://tmath.altervista.org/costruzione1a.jpg"><!-- BBCode End -->
livingbooks

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

E te livingbooks conoscevi questo?
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q386.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Divertitici... ghghgh[addsig]
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tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Ecco i soliti trucchetti:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... /q1076.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... /q1070.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Questo è più tipo Cortona:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q464.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q469.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q605.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q681.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Questi sono un regalo per J4Ck202:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q463.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q295.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q308.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... s/q353.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/C ... q353-b.jpg"><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn<DIV style=\"font-size:1pt;color:white\"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 13-04-2004 14:12 ]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]

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