<BR>--- Inventato e risolto by myself
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<BR>Siano assegnati nel piano cartesiano 9 punti a
<BR>coordinate intere a 3 a 3 non allineati. Dimostrare che è sempre possibile prendere 3 di quei 9 punti come vertici di un triangolo che abbia il BARICENTRO a coordinate intere.
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<BR>buono scervellamento
Pigeonhole principle - versione estesa
Moderatore: tutor
Il baricentro di un triangolo ha per ascissa la media delle ascisse dei vertici e per ordinata la media delle ordinate dei vertici. Dunque, dato un triangolo a coordinate intere, affinché anche il baricentro sia a coordinate intere, la somma delle ascisse e la somma delle ordinate devono essere entrambe divisibili per 3. Condizione sufficiente affinché accada ciò è che le tre ascisse siano
<BR>1) o congruenti modulo 3
<BR>2) o a due a due non congruenti modulo 3
<BR>e lo stesso deve valere per le ordinate.
<BR>
<BR>Detto questo, consideriamo uno di quei quadrati magici formati da 9 numeri DISTINTI in cui la somma delle righe, colonne, diagonali e \"pseudodiagonali\" è costante (chiamiamo S questa somma). Per pseudodiagonale intendo quella individuata dagli asterischi e le altre simili:
<BR>
<BR>* O O
<BR>O O *
<BR>O * O
<BR>
<BR>Piastrellando il piano cartesiano intero con infiniti di questi quadrati, è possibile assegnare a ciascuno dei nove punti dati un \"numero magico\", che è il numero del quadrato che ha le sue stesse coordinate.
<BR>
<BR>Riprendendo le considerazioni precedenti, possiamo stabilire che, affinché tre punti formino un triangolo con il baricentro intero, i loro numeri magici o devono essere uguali, oppure, sommati, devono dare S. Infatti in tal caso è verificata una delle due condizioni sopra espresse sia per le ascisse che per le ordinate.
<BR>
<BR>Poiché si vede subito che è impossibile distribuire nove oggetti dentro il nostro quadrato magico senza riporne più di due in ogni casella e senza riempire almeno una riga, o una colonna, o una (pseudo)diagonale, concludiamo che è sempre possibile scegliere tre punti che formino un triangolo con il baricentro intero. c.v.d.
<BR>
<BR>Non capisco la condizione che impone che i punti siano \"a tre a tre non allineati\". A meno che non si voglia impedire la formazione di triangoli che degenerano in un segmento o in un punto, non mi pare sia necessario porre questa condizione. Oppure ho sbagliato qualcosa (molto probabile).
<BR>
<BR>Gradirei un commento, grazie.
<BR>
<BR>Ciao!
<BR>1) o congruenti modulo 3
<BR>2) o a due a due non congruenti modulo 3
<BR>e lo stesso deve valere per le ordinate.
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<BR>Detto questo, consideriamo uno di quei quadrati magici formati da 9 numeri DISTINTI in cui la somma delle righe, colonne, diagonali e \"pseudodiagonali\" è costante (chiamiamo S questa somma). Per pseudodiagonale intendo quella individuata dagli asterischi e le altre simili:
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<BR>* O O
<BR>O O *
<BR>O * O
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<BR>Piastrellando il piano cartesiano intero con infiniti di questi quadrati, è possibile assegnare a ciascuno dei nove punti dati un \"numero magico\", che è il numero del quadrato che ha le sue stesse coordinate.
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<BR>Riprendendo le considerazioni precedenti, possiamo stabilire che, affinché tre punti formino un triangolo con il baricentro intero, i loro numeri magici o devono essere uguali, oppure, sommati, devono dare S. Infatti in tal caso è verificata una delle due condizioni sopra espresse sia per le ascisse che per le ordinate.
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<BR>Poiché si vede subito che è impossibile distribuire nove oggetti dentro il nostro quadrato magico senza riporne più di due in ogni casella e senza riempire almeno una riga, o una colonna, o una (pseudo)diagonale, concludiamo che è sempre possibile scegliere tre punti che formino un triangolo con il baricentro intero. c.v.d.
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<BR>Non capisco la condizione che impone che i punti siano \"a tre a tre non allineati\". A meno che non si voglia impedire la formazione di triangoli che degenerano in un segmento o in un punto, non mi pare sia necessario porre questa condizione. Oppure ho sbagliato qualcosa (molto probabile).
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<BR>Gradirei un commento, grazie.
<BR>
<BR>Ciao!
Ho scoperto solo ora che il \"pigeonhole principle\" è il famoso \"lemma dei cassetti\".
<BR>Cosa c\'entra dunque questo principio con il presente problema?
<BR>Magari lo usi nella tua dimostrazione?
<BR>
<BR>In tal caso, ti pregherei di postarla, sono molto interessato, visto che la mia fa acqua da tutte le parti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
<BR>
<BR>Ciao!
<BR>Cosa c\'entra dunque questo principio con il presente problema?
<BR>Magari lo usi nella tua dimostrazione?
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<BR>In tal caso, ti pregherei di postarla, sono molto interessato, visto che la mia fa acqua da tutte le parti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
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<BR>Ciao!