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lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Sì, il titolo è una cavolata, e il seguente è un problema di antimateria. Sì, dunque nulla di meglio di cavolate.
<BR>Comunque a onore di Giovanni bisogna dire che non è mai stato dalla parte di Pacciani.
<BR>
<BR>Ok, dimostrate il seguente fatto, o datene una degna confutazione:
<BR>non si può coprire l\'intero piano usando n angoli uguali minori di 2pi/n.
<BR>
<BR>Si può partire dimostrando più debolmente che non si può coprire l\'intero piano usando n angoli uguali minori di pi/n

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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

per coprire una parte del piano con un angolo cosa s\'intende?

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

argh... pensavo che questa formulazione facilona avrebbe evitato ogni dubbio; non è così, e me ne scuso.
<BR>Per \"coprire un piano con un po\' di angoli\" intendo dire che ogni punto del piano deve appartenere ad almeno un angolo; ah, si ricordi che un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette aventi origine comune

LB
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Messaggio da LB » 01 gen 1970, 01:33

Definiamo banda come la parte di piano compresa tra due rette parallele (qual e\' il nome standard?).
<BR>
<BR>Lemma: dato un angolo e un punto, esiste sempre un insieme finito di bande tali che se unite all\'angolo col vertice translato nel punto, la parte di piano risultante e\' un sovrainsieme dell\'angolo originale
<BR>
<BR>Usando il lemma, spostiamo tutti gli angoli all\'origine del piano.
<BR>Ora allarghiamo tutte le striscie in modo che la retta mediana tra le rette parallele passi per l\'origine.
<BR>
<BR>
<BR>Consideriamo ora una circonferenza con centro all\'origine e raggio r.
<BR>
<BR>Se l\'insieme iniziale di angoli coprisse il piano, anche l\'insieme che abbiamo costruito lo coprirebbe, essendo un sovrainsieme e dunque in particolare coprirebbe la suddetta circonferenza.
<BR>
<BR>Dimostriamo che cosi\' non e\': gli angoli coprono al massimo una porzione di lunghezza mr della circonferenza dove m e\' la somma degli angoli < 2pi.
<BR>
<BR>Consideriamo una banda di diametro 2a.
<BR>
<BR>Essa copre una parte di circonferenza pari a 4r arcsin(a/r).
<BR>
<BR>Occorre quindi dimostrare che r(2pi - m - 4 sum arcsin(a/r)), ossia la parte minima non coperta, e\' positiva per almeno un valore di r.
<BR>
<BR>Poiche\' lim(r -> inf) arcsin(a/r) = 0, si ha che lim(r -> inf) (2pi - m - 4 sum arcsin(a/r)) = 2pi - m > 0.
<BR>
<BR>Dunque il piano non e\' coperto.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: LB il 06-02-2004 01:43 ]

LB
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Messaggio da LB » 01 gen 1970, 01:33

Problema correlato piu\' difficile:
<BR>E\' possibile coprire il piano con un insieme infinito numerabile di angoli di ampiezza a_k tali che per ogni n sum(0 <= k <= n) a_k < S dove S < 2pi? (S e\' indipendente da n)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: LB il 06-02-2004 01:53 ]

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-06 01:40, LB wrote:
<BR>Definiamo banda come la parte di piano compresa tra due rette parallele (qual e\' il nome standard?).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>penso \"striscia\"
<BR>
<BR>comuqnue è questione da poco <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Lemma: dato un angolo e un punto, esiste sempre un insieme finito di bande tali che se unite all\'angolo col vertice translato nel punto, la parte di piano risultante e\' un sovrainsieme dell\'angolo originale
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>con sovrainsieme intendi semplicemente un insieme che contiene interamente il primo...oppure??
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

LB
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Messaggio da LB » 01 gen 1970, 01:33

Esatto.
<BR>

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-06 01:50, LB wrote:
<BR>Problema correlato piu\' difficile:
<BR>E\' possibile coprire il piano con un insieme infinito numerabile di angoli di ampiezza a_k tali che per ogni n sum(0 <= k <= n) a_k < S dove S < 2pi? (S e\' indipendente da n)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Questo è sempre possibile (purchè vi siano infiniti angoli non nulli!), ma il procedimento è difficile da spiegare bene, sebbene sia concettualmente semplice.
<BR>
<BR>Solleviamo dunque l\'ipotesi che la serie degli angoli converga a qualcosa < 2pi, e consideriamo in generale una successione di angoli non nulli (se ve ne fossero di nulli, basterebbe sistemarli a caso nel piano, e restare così con i soli angoli non nulli).
<BR>
<BR>Fissiamo ora una retta r: noi sistemeremo tutti gli angoli in modo che r sia la loro bisettrice, ed in modo che siano tutti \"rivolti dalla stessa parte\", tranne il primo.
<BR>
<BR>Cominciamo con il primo angolo, e mettiamolo a caso su r (come detto sopra, in modo che r sia la sua bisettrice). Sui suoi lati, consideriamo le coppie di punti A<sub>1</sub> B<sub>1</sub>, A<sub>2</sub> B<sub>2</sub>, A<sub>3</sub> B<sub>3</sub>, etc, a distanza rispettivamente 1, 2, 3, etc dal vertice V. Ora, poniamo gli altri angoli nell\'ordine, sempre sulla retta r, in modo che i lati dell\'n-esimo angolo passino per A<sub>n</sub> e B<sub>n</sub>, ed in modo che tutti questi angoli siano girati nel \"verso opposto\" rispetto al primo.
<BR>
<BR>Non è difficile verificare che questa costruzione è sempre possibile, basta porre i vertici dei nuovi angoli sufficientemente lontani da V. Altrettanto facile è verificare che l\'unico caso in cui restano punti del piano scoperti è quello in cui, detto alfa il primo angolo, tutti gli altri angoli misurano più di 2pi-alfa. Ma questo caso si può escludere, perchè sono sufficienti i primi 2 angoli per coprire abbondantemente l\'intero piano.[addsig]

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