simpatiche equazioni

Quanah · Messaggio da **Quanah** » 01 gen 1970, 01:33

Trovare le equazioni di secondo grado ax^2 + bx +c = 0 tali che siano quadrati perfetti sia il delta (b^ - 4ac) sia b^2 + 4ac.
 (Un esempio è l\'equazione 3x^2+5x-2=0. Infatti b^2 - 4ac = 49 e b^2 + 4ac = 1)

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Poiche\' non si fa nessuna ipotesi sui coefficienti,un primo (anche se un po\'
 scontato) esempio si ha con le equazioni in cui:
 a <>0, c=0.

Quanah · Messaggio da **Quanah** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, ma in generale?
 Dai, che è carino!

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

Dobbiamo considerare le terna di quadrati perfetti
 
 {b^2-4ac; b^2; b^2+4ac}
 
 E\' una parte di progressione aritmetica con ragione 4ac.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: bh3u4m il 07-02-2004 14:53 ]

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

E\' come trovare tutte le soluzioni intere all\'equazione
 
 2b(m-n)=m^2+n^2

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Una classe di equazioni (non so quanto generale) puo\' essere:
 x^2+(10t)+(+-)24t^2=0 con t numero razionale relativo.

Quanah · Messaggio da **Quanah** » 01 gen 1970, 01:33

HINT
 
 
 Dal sistema
 b^2 + 4ac = m^2
 b^2 - 4ac = n^2
 si ottiene
 2 b^2 = m^2 + n^2
 8ac = m^2 - n^2

bobby_fischer · Messaggio da **bobby_fischer** » 01 gen 1970, 01:33

Un\'altra soluzione è
 
 6x^2+10x-4=0
 Infatti b^2-4ac= 100+96=196=14^2
 e b^2+4ac=100-96=4=2^2
 Si possono inoltre sempre invertire a e c. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Empiricamente credo si possa dire che si devono trovare 2 quadrati perfetti la cui media aritmetica sia anch\'essa un quadrato perfetto. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 In questo caso funzionerebbe perchè (196+4)/2=100, quadrato di 10.
 Trovati questi due quadrati (chiamiamo n^2 il primo quadrato, p^2 il secondo quadrato e m^2 il quadrato chè è media) allora diventa che
 b=m,
 m^2-n^2 (n come numero più piccolo)=-4ac,
 p^2-m^2=+4ac
 
 Forse c\'è qualche errore (chiedo venia! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">) nei segni ma l\'idea credo si sia capita.
 Ciao
 Nick

bobby_fischer · Messaggio da **bobby_fischer** » 01 gen 1970, 01:33

Oops, mi sono appena accorto che è semplicemente uguale a quella proposta nell\'esempio, semplicemente con tutti i numeri moltiplicati per 2 (per 4 i quadrati). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 Dunque, moltiplicando per un qualsiasi numero (un qualsiasi quadrato perfetto se moltiplichiamo i quadrati) quella che chiameremo equazione in forma normale, si ottengono infinite equazioni corrispondenti a quella cercata.
 Ciao
 Nick [ Questo Messaggio è stato Modificato da: bobby_fischer il 08-02-2004 15:02 ]

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

Io ho cercato di dimostrare che sono infinite con b dispari, tenendo conto che i quadrati dei numeri dispari sono una progressione aritmetica con ragione 8. Non sono però riuscito a trovare una soluzione.

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

Più in generale possiamo considerare.
 x^2+(b)x+(((b^2)/4)-1)=0
 con b appartenente a Q b=p/q
 moltiplicando per q otteniamo tutte le equazioni cercate
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: MASSO il 09-02-2004 11:59 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Mi pare di aver trovato qualcosa (secondo il procedimento dovrebbero essere tutti i casi...):
 
 n€N
 b=+-(2n²+2n+1)
 a*c=+-n(2n+1)(n+1)
 
 Poi posto tutto il ragionamento... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 09-02-2004 17:58 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-08 16:14, bh3u4m wrote:
 Io ho cercato di dimostrare che sono infinite con b dispari, tenendo conto che i quadrati dei numeri dispari sono una progressione aritmetica con ragione 8. Non sono però riuscito a trovare una soluzione.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Scusa, ma i quadrati dei numeri dispari non sono una progressione aritmetica di ragione 8...
 1 (+<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> 9 (+16) 25 (+24) 49
 al massimo puoi dire che qd_n=qd_(n-1) + 8*(n-1)/2
 ma non è una progressione aritmetica...

Quanah · Messaggio da **Quanah** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 
 Poi posto tutto il ragionamento...
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 aspetto ma sono curiosa...

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Rieccomi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 Osserviamo innanzitutto che se |b|=x |ac|=y allora anke |b|=nx |ac|=n²y è una sol che possiamo dire \"derivata\".
 Poniamo innanzitutto a=|a|, b=|b|, c=|c|, noi sappiamo che b²-4ac=(b-j)² e b²+4ac=(b+k)² (naturalmente j>=k).
 svolgendo troviamo che 4ac=2bk+k²=2bj-j² quindi
 b=(k²+j²)/[2(j-k)]
 
 -ponendo j=k+n otteniamo
 b=(2k²+2kx+x²)/(2x)
 
 -da cui k=nx (per togliere il denominatore)
 b=(2n²x²+2nx²+x²)/(2my)=n²x+nx+x/2
 
 -ponendo x=2m otteniamo
 b=m(2n²+2n+1)
 
 -ricordando che k=nx=2nm otteniamo che
 4ac=k(2b+k)=2nm(2m(2n²+2n+1)+2nm) ==> a*c=m²n(2n+1)(n+1)
 
 Risalendo all\'inizio quindi (e all\'osservazione iniziale):
 
 |b|=2n²+2n+1 e |ac|=n(2n+1)(n+1) (1)
 
 Si potrebbe anke pensare a 2 numeri la quale media quadratica è intera (come aveva peraltro già detto bobby_fisher) cioè x²+y²=2z² (y>=x) dove z=b e |z²-x²|=|z²-y²|=|4ac|. Ma questa espressione ha come soluzioni le terne pseudopitagoriche (dove una terna pseudopitagorica (x,y,z) è soluzione di x²+y²=2z² appunto) le quali terne sono riconducibili alle terne pitagoriche. Infatti se (x\',y\',z\') con z\'>y\'>x\' è una terna pitagorica allora (y\'-x\',y\'+x\',z\') è una terna pseudopitagorica (per dimostrarlo basta sostituire) e quindi (sostituendo) |b|=z\' e |4ac|=(y\'+x\')²-(z\')²=(y\')²+(x\')²+2x\'y\'-(z\')² e sapendo che (x\')²+(y\')²=(z\')² (per definizione) allora |ac|=(x\'y\')/2.
 Sapendo che tutte le terne pitagoriche (x\',y\',z\') si possono rappresentare come (m²-n²,2mn,m²+n²) con m,n€Z possiamo dire che :
 
 |b|=m²+n² e |ac|=mn(m²-n²) (2)
 
 oppure data una terna pitagorica (x,y,z)
 
 |b|=z e |ac|=(xy)/2
 
 La (1) non è che un caso speciale della (2) ponendo m=n+1. Devo aver generalizzato male...
 
 @Masso: non mi pare il tuo metodo funzioni...b²-4ac=b²-4(b²/4-1)=4 e va bene ma b²+4ac=b²+b²-4=2b²-4 non mi pare sia sembre un quadrato..
 
 Byebye! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 P.S.: Scusate se nn si leggeva una parte della dimostrazione. Ora dovrebbe essere a posto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-02-2004 11:03 ]