If A, B, C, and D are four consecutive vertices of a regular polygon such that:
<BR>
<BR>1/AB = 1/AC + 1/AD,
<BR>
<BR>how many sides does the polygon have ?
<BR>
Quanti lati, figliolo?
Moderatore: tutor
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Simo_the_wolf
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Prima di tutto nn può essere un quadrilatero perchè altrimenti avermo che AD=AB,quindi assegnamo un quinto vertice F e la relazione si può riscrivere anke come
<BR>
<BR>AD*AC=AB*AD+AB*AC
<BR>
<BR>Il quadrilatero ABCF è inscrittibile in una circonferenza perchè i vertici appartengono ad un poligono regolare e per il teorema di Tolomeo avremo che che
<BR>
<BR>AC*FB=BC*AF+AB*FC
<BR>
<BR>per BC=AB e FB=AD ed FC=AC perchè sono diagonali congruenti del poligono la relazione sarà scritta così
<BR>
<BR>AC*AD=AB*AF+AB*AC
<BR>
<BR>che confronatata con la prima avrà AD=AF
<BR>da cio deduci che tra i vertici F ed A ci saranno tanti vertici quanti ce en sono tra A e D quindi il poligono ha 7 lati
<BR>
<BR>AD*AC=AB*AD+AB*AC
<BR>
<BR>Il quadrilatero ABCF è inscrittibile in una circonferenza perchè i vertici appartengono ad un poligono regolare e per il teorema di Tolomeo avremo che che
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<BR>AC*FB=BC*AF+AB*FC
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<BR>per BC=AB e FB=AD ed FC=AC perchè sono diagonali congruenti del poligono la relazione sarà scritta così
<BR>
<BR>AC*AD=AB*AF+AB*AC
<BR>
<BR>che confronatata con la prima avrà AD=AF
<BR>da cio deduci che tra i vertici F ed A ci saranno tanti vertici quanti ce en sono tra A e D quindi il poligono ha 7 lati
Pensavo immodestamente che la mia che la mia fosse una bella soluzione, ma non e\' niente in confronto a quella di Pascat.
<BR>
<BR>Comunque sia eccola:
<BR>
<BR>Dato che A,B,C e D sono vertici di un poligono regolare, ABCD e\' un quadrilatero ciclico. Percio\' per il teorema di Tolomeo AB*CD + BC*DA = AC*BD che in questo caso diventa, dato che AB = BC = CD e AC = BD, AB^2 + AB*DA = AC^2 che si puo\' scrivere come AC^2 – AB^2 = AB*AD o AC – AB = AB*AD/(AC+AB) e dividendo entrambi i membri per AC*AB otteniamo 1/AB – 1/AC = AD/(AC(AC+AB)).
<BR>
<BR>Questo combinato con le ipotesi da\':
<BR>
<BR>(AC+AB)/AD = AD/AC.
<BR>
<BR>Consideriamo ora i triangoli ACD and ADC’ dove C’ e\' l\'estensione di AC tale che CC’ = AB = CD. Questi triangoli sono simili quindi < ADC = < AC’D. Cio\' unito al fatto che CDC’ e\' isoscele e al fatto che < ADC = 2< DAC comporta che 7< DAC = Pi.
<BR>
<BR>Comunque sia eccola:
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<BR>Dato che A,B,C e D sono vertici di un poligono regolare, ABCD e\' un quadrilatero ciclico. Percio\' per il teorema di Tolomeo AB*CD + BC*DA = AC*BD che in questo caso diventa, dato che AB = BC = CD e AC = BD, AB^2 + AB*DA = AC^2 che si puo\' scrivere come AC^2 – AB^2 = AB*AD o AC – AB = AB*AD/(AC+AB) e dividendo entrambi i membri per AC*AB otteniamo 1/AB – 1/AC = AD/(AC(AC+AB)).
<BR>
<BR>Questo combinato con le ipotesi da\':
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<BR>(AC+AB)/AD = AD/AC.
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<BR>Consideriamo ora i triangoli ACD and ADC’ dove C’ e\' l\'estensione di AC tale che CC’ = AB = CD. Questi triangoli sono simili quindi < ADC = < AC’D. Cio\' unito al fatto che CDC’ e\' isoscele e al fatto che < ADC = 2< DAC comporta che 7< DAC = Pi.
Propongo la mia soluzione perche\',essendo algebrica,contiene
<BR>in effetti un\'equazione cubica di cui s\'e\' parlato.
<BR>Poniamo t=cos(180°/n) ,essendo n (>3) il numero dei lati del poligono.
<BR>Con qualche facile calcolo si ricava l\'equazione :
<BR>8t^3-4t^2-4t+1=0. (sara questa la famosa cubica?)
<BR>Essa equazione ha tre radici reali che sono (approssimativamente):
<BR>t1=-0,62
<BR>t2=0.22
<BR>t3=0.90
<BR>Di queste radici solo l\'ultima e\' accettabile e porta al risultato:
<BR>180°/n=25.84°--->n=6.96.
<BR>Quindi arrotondando ad un intero:n=7.
<BR>Saluti.
<BR>in effetti un\'equazione cubica di cui s\'e\' parlato.
<BR>Poniamo t=cos(180°/n) ,essendo n (>3) il numero dei lati del poligono.
<BR>Con qualche facile calcolo si ricava l\'equazione :
<BR>8t^3-4t^2-4t+1=0. (sara questa la famosa cubica?)
<BR>Essa equazione ha tre radici reali che sono (approssimativamente):
<BR>t1=-0,62
<BR>t2=0.22
<BR>t3=0.90
<BR>Di queste radici solo l\'ultima e\' accettabile e porta al risultato:
<BR>180°/n=25.84°--->n=6.96.
<BR>Quindi arrotondando ad un intero:n=7.
<BR>Saluti.