La successione di Fibonacci

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Ho reperito alcune proprieta\' della (ipernota) successione di Fibonacci
<BR>di cui mi piacerebbe conoscere una giustificazione.
<BR>Ecco il testo:
<BR>
<BR>Si consideri la successione di Fibonacci {U(n)} di termini iniziali
<BR>U(0)=0,U(1)=1 provare le seguenti relazioni:
<BR>
<BR>1) U(2n-1)=(U(n))^2+(U(n-1))^2
<BR>
<BR>2)U(n-1)=U(k)*U(n-k)+U(k-1)*U(n-k-1)
<BR>
<BR>Spero non si tratti di cose gia\' discusse.

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-29 14:58, karl wrote:
<BR>Ho reperito alcune proprieta\' della (ipernota) successione di Fibonacci
<BR>di cui mi piacerebbe conoscere una giustificazione.
<BR>Ecco il testo:
<BR>
<BR>Si consideri la successione di Fibonacci {U(n)} di termini iniziali
<BR>U(0)=0,U(1)=1 provare le seguenti relazioni:
<BR>
<BR>1) U(2n-1)=(U(n))^2+(U(n-1))^2
<BR>
<BR>2)U(n-1)=U(k)*U(n-k)+U(k-1)*U(n-k-1)
<BR>
<BR>Spero non si tratti di cose gia\' discusse.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mi limito qui ad annotare che la prima identità è una diretta conseguenza della seconda, pur di operare in quest\'ultima la sostituzione formale n --> 2n ed assumere di conseguenza, al suo secondo membro: k = n. Per dimostar la condizione 2), basta ragionare poi per induzione. Lascio ad altri, cmq, il piacere dei dettagli... Se nessuno avrà la premura di fornirli, beh allora mi risolverò di farlo io... forse. Ciao, per il momento!
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Se euler_25 non ti dovesse far sapere, puoi cercare fra i vecchi numeri del giornalino: potresti trovare cio\' che cerchi e anche di piu\'.
<BR>

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

ragioniamo x induzione
<BR>
<BR>F(x) è l\'x-esimo numero di fibonacci ( F(0)=0 F(1)=1 )
<BR>
<BR>F(x+2)=F(x)+F(x+1)
<BR>F(x+3)=F(x+1)+F(x+2)=F(x)+2F(x+1)
<BR>F(x+4)=F(x+2)+F(x+3)=2F(x)+3F(x+1)
<BR>...
<BR>F(x+y)=F(y-1)F(x)+F(y)F(x+1)
<BR>
<BR>per la prima x=n-1 y=n per la 2ª x=n-k-1 y=k
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>Se vi interessa prossimamente potrei postare un saaacco di cose su Fibonacci....

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

a)Veramente molto efficace!
<BR>b) Interessa ! (parlo per me ovviamente)

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Rieccomi.
<BR>
<BR>Dimostrare che, dato un n€N esso è un numero di Fibonacci se e solo se 5n²+4 o 5n²-4 è un quadrato perfetto.
<BR>Io purtroppo sono riuscito solo a dimostrare che se n è un numero di Fibonacci allora vale questa proprietà; in particolare 5F<sub>n</sub>²+(-1)<sup>n</sup>4=L<sub>n</sub>² dove L<sub>n</sub> è l\'n-esimo numero di Lucas ( L<sub>0</sub>=2 L<sub>1</sub>=1 L<sub>n+2</sub>=L<sub>n+1</sub>+L<sub>n</sub> n>=0 )
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-29 17:28, Simo_the_wolf wrote:
<BR>Se vi interessa prossimamente potrei postare un saaacco di cose su Fibonacci....
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Portaci il più possibile che siamo contenti!
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...

My Selene - Sonata Arctica

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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Hint 1
<BR>
<BR>dimostrare che L<sub>n</sub>=F<sub>n-1</sub>+F<sub>n+1</sub>
<BR>
<BR>@bh3u4m
<BR>volentieri...mi organizzo prima 1 pò...
<BR>
<BR>

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