Caspiata

Humpty_Dumpty · Messaggio da **Humpty_Dumpty** » 01 gen 1970, 01:33

Salve! Mi servirebbe la dimostrazione del fatto che un generico polinomio del tipo :
 a0+a1*x+....an*x^n
 ha esattamente n radici reali e complesse.
 Qualcuno può, gentilmente, aiutarmi? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Purtroppo mi pare non sia così semplice... mi sa che l\'aveva dimostrato Gauss alla sua tesi di laurea !!!

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

e d\'Alambert prima di lui era quasi arrivato ad una dimostrazione, gli mancava un lemma
 
 comunque in effetti il problema non è così semplice (di sicuro non è una \"caspiata\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)..
 la dimostrazione segue facilmente da un teorema di Liouville sui poli delle funzioni razionali in campo complesso (mi pare, spero di non dire cavolate)
 e ho visto un\'altra dimostrazione che usa il concetto di modulo di un numero complesso (più precisamente mostra che data f(x) polinomiale, il grafico della funzione g(x)=|f(x)| tocca in almeno un punto il paino complesso (cioè si annulla in almeno un punto))
 
 penso comunque che esistano varie dimostrazioni di questo famoso teorema, ma sinceramente non saprei dirti dove trovarle

khristian · Messaggio da **khristian** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-28 17:43, Humpty_Dumpty wrote:
 Salve! Mi servirebbe la dimostrazione del fatto che un generico polinomio del tipo :
 a0+a1*x+....an*x^n
 ha esattamente n radici reali e complesse.
 Qualcuno può, gentilmente, aiutarmi? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 La dimostrazione di questo fatto si chiama \"Teorema fondamentale dell\'algebra\" ed e\' sostanzialmente un teorema di analisi.
 
 Siccome l\'ho visto se vuoi ti dico qualche libro ove trovarlo o direttamente ti do la dimostrazione che conosco io (sfortunatamente e\' dannatamente lunga!!!!!!!!!!!!)
 
 K.

Humpty_Dumpty · Messaggio da **Humpty_Dumpty** » 01 gen 1970, 01:33

Un grazie sentito a tutti coloro che hanno risposto al mio post. Purtroppo però, esprimendomi senz\'altro male, ho dato luogo ad un grosso fraintendimento. In realtà la mia domanda era davvero una caspiata. Non richiedevo la dimostrazione del teorema fondamentale dell\'algebra, anche perché per quanto ne so io (cioè poco) afferma che una equazione di grado n ammette sempre almeno una radice complessa (correggetemi se sbaglio) e per la dimostrazione è necessaria l\'analisi. Io invece ponevo una questione molto più banale.
 Mi spiego (meglio):
 sia p(x) un generico polinomio di grado n. Quello che volevo dimostrare io era il fatto che questo polinomio si possa scomporre in a(x-alfa)(x-beta)....
 dove alfa, beta ecc. sono le soluzioni dell\'equazione p(x)=0 e che i fattori del prodotto (x-alfa), (x-beta) siano esattamente in numero n. Il che equivale a dire che l\'equazione p(x)=0 ha n soluzioni (nel campo complesso). Forse ho complicato ancor più la situazione ma, data l\'ora vi chiedo un po\' di comprensione. Ciauz! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> (E scusate per la confusione!) <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Humpty_Dumpty il 29-01-2004 22:54 ]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

quel che stai chiedendo te è proprio l\'enunciato del teorema fondamentale dell\'algebra... e una dimostrazione abbastanza accessibile è sul classico (che cos\'è la matematica\" Courant-Robbins....

Humpty_Dumpty · Messaggio da **Humpty_Dumpty** » 01 gen 1970, 01:33

Sul Courant-Robbins dice:
 Il teorema di Gauss stabilisce che per ogni equazione algebrica della forma
 f(x)=x^n-ax^n-1+bxn^-2....+a0=0
 (17), dove n è un numero intero positivo e le a sono numeri reali o complessi qualsiasi, esiste almeno un numero complesso alfa=c+di tale che f(alfa)=0.
 In seguito il testo dando per dimostrato il precedente teorema (di Gauss o teorema fondamentale dell\'algebra) procede alla dimostrazione della proprietà da me richiesta. Avevo già consultato il testo, ma la soluzione che presenta non mi garba molto perché dà per scontato il teorema di Gauss.

khristian · Messaggio da **khristian** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-29 23:07, Humpty_Dumpty wrote:
 Sul Courant-Robbins dice:
 Il teorema di Gauss stabilisce che per ogni equazione algebrica della forma
 f(x)=x^n-ax^n-1+bxn^-2....+a0=0
 (17), dove n è un numero intero positivo e le a sono numeri reali o complessi qualsiasi, esiste almeno un numero complesso alfa=c+di tale che f(alfa)=0.
 In seguito il testo dando per dimostrato il precedente teorema (di Gauss o teorema fondamentale dell\'algebra) procede alla dimostrazione della proprietà da me richiesta. Avevo già consultato il testo, ma la soluzione che presenta non mi garba molto perché dà per scontato il teorema di Gauss.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Il teorema fondamentale dell\'algebra dice:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 \"Ogni f(x) polinomio con coefficienti nel campo complesso di grado >=1 ha almeno una radice a complessa\"
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Da questo arrivi a dire che, dato p(x), esiste una radice a1 di p(x) tale che
 p(a1)= 0. Per il teorema di Ruffini se a1 e\' radice di p(x) allora (x-a1) divide
 p(x); allora ho che p(x) = p1(x)*(x-a1) con chiaramente il grado di p1(x) minore strettamente al grado di p(x) (di piu\' e\' uguale al grado di p(x) - 1!!) .
 
 Riapplico allora il TFA e trovo la radice a2 del polinomio p1(x) e dinuovo apllico Ruffini e trovo p2(x) tale che p(x) = (x-a1)*(x-a2)*p2(x).
 
 Proseguo la dimostrazione iterando i passi precedenti fino a che non ottendo un polinomio pn(x) costante di grado 0. Quanti passi ho eseguito? Esattamente n = grado di p(x). In altre parole:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 \"Dato p(x) di grado n p(x) = (x-a1)*...*(x-an) con a1,...,an appartenenti ai complessi\"
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Spero di esserti stato utile.
 
 K.