Equazione funzionale intera

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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

Sia f:Z-->Z
<BR>
<BR>torvare tutte le funzioni per cui:
<BR>f(x+y)=f(x)+f(y)
<BR>f(xy)=f(x)f(y)
<BR>
<BR>Ciao.
Aladin to the genius: "Oh, great spirit! My desire is that you do not fullfill my desire"
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khristian
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Messaggio da khristian » 01 gen 1970, 01:33

La prima che mi sovviene e\' la seguente: dato che:
<BR>
<BR>f(1+0) = f(1) + f(0) -> f(0) = 0
<BR>f(a*1) = f(a) * f(1) -> f(1) = 1
<BR>
<BR>Inoltre anche f(-a) = - f(a) considerando f(0) = f[a +(- a)] da cui f(-1) = -1.
<BR>Analogamente f(k) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = 1+...+1 = k
<BR>
<BR>Date queste premesse potrebbe essere: f(x) = x.
<BR>

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Analogamente f(k) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = 1+...+1 = k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ok, devi solo giustificare meglio questo passaggio

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Io invece non ho capito bbene il passaggio che segue:
<BR>
<BR>f(a*1) = f(a) * f(1) => f(1) = 1
<BR>
<BR>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

i) Ragioniamo in prima istanza sulla funzionale: f(x+y)=f(x)+f(y), p.o. x,y€Z.
<BR>Segue immediatamente che: f(0) = 0 ed f(x) = -f(-x), cosicché sarà sufficiente limitare il nostro studio al dominio dei soli interi non negativi. Ora, per induzione, posto a := f(1), si dimostra che, comunque fissato un x€N\\{0}: f(x) = a*x. Basta considerare che, per ogni intero x>0: f(x+1) = f(x)+f(1), e ragionare di conseguenza. Da qui si deduce dover essere (riassumendo il tutto): f(x) = a*x := f(1)*x, per ogni x€Z, con f(1) arbitrariamente assegnato in Z. Per sostituzione diretta, si verifica infine l\'effettività della soluzione così determinata limitatamente alla prima funzionale del sistema.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-01-2004 18:36 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

ii) Sostituendo a questo punto nella seconda funzionale del sistema la soluzione generale della prima, si deduce dover essere:
<BR>
<BR>a*xy = (a*x)*(a*y) ==> a*xy = a<sup>2</sup>*xy, per ogni x,y€Z
<BR>
<BR>e quindi (per x = y = 1): a = a<sup>2</sup>, ovvero: a = 0 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> a = 1, donde ancora: f(x) = 0 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> f(x) = x, con x€Z. Per sostituzione diretta nella seconda funzionale, si deduce a questo punto che le funzioni così indicate rappresentano tutte e sole le soluzioni del problema allo studio. FINE<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-01-2004 18:36 ]
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-28 13:39, khristian wrote:
<BR>La prima che mi sovviene e\' la seguente: dato che:
<BR>
<BR>f(1+0) = f(1) + f(0) -> f(0) = 0
<BR>f(a*1) = f(a) * f(1) -> f(1) = 1
<BR>
<BR>Inoltre anche f(-a) = - f(a) considerando f(0) = f[a +(- a)] da cui f(-1) = -1.
<BR>Analogamente f(k) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = 1+...+1 = k
<BR>
<BR>Date queste premesse potrebbe essere: f(x) = x.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Khristian, amico mio! Non pare anche a te che TU ti sia perso qualcosina per strada? Un po\' più di attenzione, te ne prego, altrimenti di pugnar con te mi si va scemando il desiderio e la tenzone, sì come altrove TU l\'hai detta ed IO ho gradito, avrà per noto il nome del vincitor suo impavido e cazzuto ancor prima che noi s\'abbia potuto conoscerne il principio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-01-2004 18:38 ]
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khristian
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Messaggio da khristian » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-28 15:49, lordgauss wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Analogamente f(k) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = 1+...+1 = k
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ok, devi solo giustificare meglio questo passaggio
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Ho semplicemente applicato f(x+y) = f(x) + f(y) piu\' volte:
<BR>
<BR>f(k) = f(k-1) + f(1)
<BR>
<BR>ricordando che:
<BR>
<BR>f(1) = 1.

khristian
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Messaggio da khristian » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-28 16:25, sprmnt21 wrote:
<BR>Io invece non ho capito bbene il passaggio che segue:
<BR>
<BR>f(a*1) = f(a) * f(1) => f(1) = 1
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Dalla relazione f(xy) = f(x)f(y) poniamo x=a ed y=1, allora:
<BR>
<BR>f(a) = f(a*1) = f(a)f(1)
<BR>
<BR>da cui supponendo f(a) diverso da zero: f(1) = 1.
<BR>

khristian
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Messaggio da khristian » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-28 18:30, euler_25 wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-28 13:39, khristian wrote:
<BR>La prima che mi sovviene e\' la seguente: dato che:
<BR>
<BR>f(1+0) = f(1) + f(0) -> f(0) = 0
<BR>f(a*1) = f(a) * f(1) -> f(1) = 1
<BR>
<BR>Inoltre anche f(-a) = - f(a) considerando f(0) = f[a +(- a)] da cui f(-1) = -1.
<BR>Analogamente f(k) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = 1+...+1 = k
<BR>
<BR>Date queste premesse potrebbe essere: f(x) = x.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Khristian, amico mio! Non pare anche a te che TU ti sia perso qualcosina per strada? Un po\' più di attenzione, te ne prego, altrimenti di pugnar con te mi si va scemando il desiderio e la tenzone, sì come altrove TU l\'hai detta ed IO ho gradito, avrà per noto il nome del vincitor suo impavido e cazzuto ancor prima che noi s\'abbia potuto conoscerne il principio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-01-2004 18:38 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Sarai anche un po\' abile in matematica, ma credo che tu l\'italiano lo sappia pochino.... nota che ho scritto:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>Date queste premesse POTREBBE essere: f(x) = x.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ed a casa mia il \"potrebbe\" sta ad indicare una possibilita\' non una certezza...
<BR>Come fai a vincere se nemmeno sai leggere le regole del gioco????
<BR>
<BR>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-29 14:42, khristian wrote:
<BR>Sarai anche un po\' abile in matematica, ma credo che tu l\'italiano lo sappia pochino.... nota che ho scritto:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>Date queste premesse POTREBBE essere: f(x) = x.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ed a casa mia il \"potrebbe\" sta ad indicare una possibilita\' non una certezza...
<BR>Come fai a vincere se nemmeno sai leggere le regole del gioco????
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Addirittura adesso sarei <!-- BBCode Start --><I>bravino</I><!-- BBCode End --> in Matematica e <!-- BBCode Start --><I>scarso</I><!-- BBCode End --> in italiano? Mi fai pisciare dalle risate, Khristian! Ti prego smettila che altrimenti crepo! Guarda che sei troppo simpatico, giuro! E dai, non te la prendere, vedrai che ti rifarai presto... beh, mettiamoci un forse! Piuttosto, sei andato a leggerti quel che ti ho lasciato scritto in proposito del \"limite cazzuto\"? Ah, noooo! Beh, allora corri... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 29-01-2004 15:18 ]
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Catraga
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Messaggio da Catraga » 01 gen 1970, 01:33

f(0)=0 ovvio.
<BR>ora ci sono due soluzioni:
<BR>f(y)=f(1)f(y) ==> f(y)(1-f(1))=0
<BR>
<BR>f(x)=0 per ogni x
<BR>
<BR>oppure
<BR>
<BR>f(x)=x
<BR>
<BR>f(x+1)=f(x)+1 per ogni x
<BR>inoltre f(-x)=*f(x)
<BR>per induzione si arriva che f(x)=x.
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khristian
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Messaggio da khristian » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-27 14:56, Catraga wrote:
<BR>Sia f:Z-->Z
<BR>
<BR>torvare tutte le funzioni per cui:
<BR>f(x+y)=f(x)+f(y)
<BR>f(xy)=f(x)f(y)
<BR>
<BR>Ciao.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Se ti puo\' essere infine utile questo e\' uno degli isomorfismi di anello da Z in se\' stesso, poiche\' compatibile sia con somma che con prodotto e tale che
<BR>f(1) = 1.
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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