Ora si tratta di risolvere:
<BR>
<BR> lim integrale( da 0 a t) { cos(x^2) dx }
<BR> t->+infinito
<BR>
<BR>Buon divertimento.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: khristian il 20-01-2004 18:50 ]
Provate questo limite!!!
Moderatore: tutor
Non è difficilissimo. Basta un po\' di analisi complessa.
<BR>
<BR>int[0..+inf] cos(x^2) dx =
<BR>RealPart( int[0..+inf] e^(i*x^2) dx )=
<BR>RealPart( (cos(pi/4)+i*sin(pi/4)) * int[0..+inf] e^(-x^2) dx )
<BR>
<BR>Ora è fatto noto che int[0..+inf] e^(-x^2) dx = sqrt(pi)/2
<BR>(se serve te lo dimostro)
<BR>
<BR>Dunque
<BR>int[0..+inf] cos(x^2) dx = sqrt(2pi)/4
<BR>
<BR>Anche noto come \"integrale di Fresnel\".
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 21-01-2004 21:00 ]
<BR>
<BR>int[0..+inf] cos(x^2) dx =
<BR>RealPart( int[0..+inf] e^(i*x^2) dx )=
<BR>RealPart( (cos(pi/4)+i*sin(pi/4)) * int[0..+inf] e^(-x^2) dx )
<BR>
<BR>Ora è fatto noto che int[0..+inf] e^(-x^2) dx = sqrt(pi)/2
<BR>(se serve te lo dimostro)
<BR>
<BR>Dunque
<BR>int[0..+inf] cos(x^2) dx = sqrt(2pi)/4
<BR>
<BR>Anche noto come \"integrale di Fresnel\".
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 21-01-2004 21:00 ]
Questa passi solo perché la curva in questione é particolarmente bella...
<BR>dunque, sempre a proposito della spirale di Cornu o clotoide, che btw é definita da:
<BR>x=C(t) y=S(t)
<BR>dove S,C sono i due integrali di Fresnel calcolati tra 0 e t, ovvero x=Int[0...t]cos(Pi*s²/2)ds y=Int[0...t]sin(Pi*s²/2)ds
<BR>, ebbene, a proposito di questa simpatica curva, quale relazione lega la sua lunghezza tra l\'origine e un punto di ascissa x e la sua curvatura in quel detto punto?
<BR>
<BR>Mi spiace, é analisi, ma quando si parla di curve belle non so resistere... (come Jack quando si parla di integrali <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ).
<BR>dunque, sempre a proposito della spirale di Cornu o clotoide, che btw é definita da:
<BR>x=C(t) y=S(t)
<BR>dove S,C sono i due integrali di Fresnel calcolati tra 0 e t, ovvero x=Int[0...t]cos(Pi*s²/2)ds y=Int[0...t]sin(Pi*s²/2)ds
<BR>, ebbene, a proposito di questa simpatica curva, quale relazione lega la sua lunghezza tra l\'origine e un punto di ascissa x e la sua curvatura in quel detto punto?
<BR>
<BR>Mi spiace, é analisi, ma quando si parla di curve belle non so resistere... (come Jack quando si parla di integrali <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ).
Figo! Il prodotto RAGGIO DI curvatura*lunghezza dell\'arco è costante!
<BR>
<BR>Per rispondere al msg successivo:
<BR>
<BR>Il raggio di curvatura sarebbe \"il raggio della circonferenza
<BR>osculante\". Non che così sia molto più chiaro. Diciamo che
<BR>se hai una funzione parametrizzat\"a come
<BR>
<BR>{ x = x(t)
<BR>{ y = y(t)
<BR>
<BR>Il raggio di curvatura è
<BR>
<BR>R = (x\'(t)^2 + y\'(t)^2)^(3/2) / (x\'(t)y\'\'(t)-x\'\'(t)y\'(t))
<BR>
<BR>Se pensi fisicamente ascisse e ordinate come \"spazi in funzione di tempi\"
<BR>
<BR>R = ||v||^3 / || v ° a ||
<BR>
<BR>dove il pallino indica il prodotto vettoriale.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 22-01-2004 14:51 ]
<BR>
<BR>Per rispondere al msg successivo:
<BR>
<BR>Il raggio di curvatura sarebbe \"il raggio della circonferenza
<BR>osculante\". Non che così sia molto più chiaro. Diciamo che
<BR>se hai una funzione parametrizzat\"a come
<BR>
<BR>{ x = x(t)
<BR>{ y = y(t)
<BR>
<BR>Il raggio di curvatura è
<BR>
<BR>R = (x\'(t)^2 + y\'(t)^2)^(3/2) / (x\'(t)y\'\'(t)-x\'\'(t)y\'(t))
<BR>
<BR>Se pensi fisicamente ascisse e ordinate come \"spazi in funzione di tempi\"
<BR>
<BR>R = ||v||^3 / || v ° a ||
<BR>
<BR>dove il pallino indica il prodotto vettoriale.
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 22-01-2004 14:51 ]