disequazioni

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febiz2004
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Messaggio da febiz2004 » 01 gen 1970, 01:33

1)dimostrare che se p,q,r,s sono naturali allora:
<BR> (p^2+p+1)(q^2+q+1)(r^2+r+1)(s^2+s+1)>=81pqrs
<BR>
<BR>2)Se n è naturale e x>0.dimostrare che:
<BR> (1+x)<sup>n+1</sup> >= ((n+1)<sup>n+1</sup>x) / n<sup>n</sup>
<BR>
<BR>3)dimostrare che c\'è un numero a tale che per ogni triangolo ABC vale la disuguaglianza:
<BR> max(h<sub>A</sub>,h<sub>B</sub>,h<sub>C</sub>)<=a*min(m<sub>A</sub>,m<sub>B</sub>,m<sub>C</sub>) dove h_i sono le lunghezze delle altezze e m_i sono le lunghezze delle mediane. Trovare il minimo valore di a
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: febiz2004 il 18-01-2004 19:34 ]

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Provo il secondo:
<BR>
<BR>Se x>0 n naturale dimostrare che (1+x)^(n+1)>=(n+1)^(n+1)*x*1/n^n
<BR>
<BR>Per Bernoulli abbiamo che (1+x)^(n+1)>1+(n+1)x
<BR>dimostriamo che:
<BR>1+(n+1)x>=(n+1)^(n+1)*x*(1/n^n) cioè:
<BR>
<BR>n^n+n^n*(n+1)x>=x*(n+1)^n il che equivale a dimostrare che :
<BR>
<BR>n^(n+1)+n^n-(n+1)^n>0 o anche:
<BR>
<BR>n^n-(n+1)^(n-1) (1)
<BR>
<BR>Riscriviamo la (1) come:
<BR>
<BR>n+1>(1+1/n)^n
<BR>
<BR>ora il secondo membro per un ben noto limite è sempre minore a 3 dunque per n>=2 la disuguaglianza è ovvia.
<BR>Il caso n=1 si verifica per sostituzione diretta.
<BR>
<BR>é giusta?
<BR>
<BR>Ciao a tutti
<BR>
Andrea 84 alias Brend

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

dimostrare che se p,q,r,s sono naturali allora:
<BR>(p^2+p+1)(q^2+q+1)(r^2+r+1)(s^2+s+1)>=81pqrs
<BR>
<BR>Dimostriamo che vale:
<BR>
<BR>(p^2+p+1)>=3p per MA>=MG abbiamo (p^2+p+1)/3>=(3)sqrt(p^3) da cui la tesi.
<BR>Ripetendo il ragionamento per q,r,s e moltiplicando le disequazioni così ottenute si ha la tesi
<BR>
<BR>Ciao<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 18-01-2004 20:02 ]
Andrea 84 alias Brend

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

p²+p+1-3p=(p-1)²>=0

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

mi dite se la prima dim è giusta? please!
Andrea 84 alias Brend

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno mi risponde?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 19-01-2004 21:53 ]
Andrea 84 alias Brend

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