2. DISEGNARE UNA FIGURA

[dieciottantunesimi]

Ogni volta che è possibile farlo ci torna molto utile descriverci il problema con un disegno, un diagramma o un grafo. Una rappresenteazione diagrammatica di solito rende più facile il rinvenimento di dati e relazioni fondamentali per la risoluzione del problema. Per le soluzioni didattiche userò degli attachments.
<BR>Eccovi il primo esercizio:
<BR><font color=red>PROBLEMA 1:</font>
<BR><font color=blue>
<BR>Una corda ha lunghezza costante ed è sottesa ad un semicerchio. Il punto mediano della corda e le proiezioni degli estremi della corda sulla base del semicerchio formano i vertici di un triangolo. Dimostrare che il triangolo è isoscele e che non cambia mai forma.
<BR></font>

[rojelio]

Innanzi tutto ben trovati a tutti quanti. Mi chiamo Riccardo, ingegnere informatico con una piccola passione per i problemi matematici e di logica, neo-iscritto a questo forum.
<BR>Avrei bisogno di un piccolo chiarimento circa il <font color=red>PROBLEMA 1</font>: cosa intendi per <i>\"non cambia mai forma\"</i>? Se intendi dire solo che è sempre isoscele, credo di avere la soluzione... altrimenti non ho proprio capito il testo.
<BR>
<BR>----------
<BR><address>
<BR>Riccardo \'Rojelio\' Brigo
<BR>Scuola Sup. Sant\'Anna - Pisa
<BR>email: rojelio@sssup.it
<BR></address><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: rojelio il 14-01-2004 19:56 ]

[Biagio]

credo che intenda che siano sempre simili tra loro, data una lunghezza della corda fissata, qualunque sia la sua posizione.

[cekko]

che cosa significa che la corda è sottesa ad un semicerchio?
<BR>scusate la mia ignoranza.

[Ospite]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-14 20:17, cekko wrote:
<BR>che cosa significa che la corda è sottesa ad un semicerchio?
<BR>scusate la mia ignoranza.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>sottendere significa unire con un segmento gli estremi di un arco
<BR>-f-
<BR>

[dieciottantunesimi]

Prima che Lorenzo o Giacomo o uno di loro insomma, mi sfracellino di mazzate, correggo: la corda è sottesa ad un arco della circonferenza (gli estremi della corda coincidono con gli estremi di un arco compresa nella semicirconferenza.
<BR>
<BR>Bisogna dimostrare in effetti che rimane sempre isoscele e simile.[addsig]

[rojelio]

Ok, ora mi e\' chiaro ed ecco la mia...
<BR>
<BR><font color=red>SOL. 1</font>
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Siano O il centro della semicirconferenza, A e B gli estremi della corda, M il suo punto medio e A\', B\' e M\' le rispettive proiezioni sul diametro.
<BR>M\' e\' punto medio del segmento di estremi A\' e B\' (fascio di tre rette parallele tagliate da due trasversali: corda e diametro), quindi il triangolo A\'MB\' e\' isoscele.
<BR>Sia α l\'angolo formato dalla semiretta OM con il diametro; si constata immediatamente che risultano essere MM\' = OM sin(α ) e A\'B\' = AB sin(α ), ovvero tutti i triangoli sono simili ad un triangolo isoscele di base AB e altezza pari a OM secondo il coeff. sin(α ), cioè tutti simili tra loro.
<BR></font>
<BR>
<BR>Riccardo
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: rojelio il 14-01-2004 21:11 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: rojelio il 14-01-2004 21:12 ]

[dieciottantunesimi]

Buona Rojelio, ma ci sono anche altre dimostrazioni ovviamente. Da notare cmq il trucchetto di usare linee o archi ausiliarii (che spesso è possibile trovare per riflessione, estensione o rotazione). La soluzione di Rojelio è molto semplice ed elegante. Per amor di cronaca, ce n\'è una che si può trovare per via analitica, ma è un pò più complicata per cui preferisco la prima.
<BR><font color=red>PROBLEMA 2:</font>
<BR>
<BR>
<BR><font color=blue>
<BR> Franc e Antimateria ieri sera sono andati ad una festa dove c\'erano altre tre coppie. Ci sono state varie strette di mano. Nessuno ha stretto la mano ovviamente alla o al proprio compagna/o, nessuno ha stretto la mano di una stessa persona due volte e vabbè, ci mancherebbe, nessuno si è stretto la mano da solo. Dopo che le strette di mano sono finite, Antimateria ha chiesto ad ognuno, inclusa Franc, quante mani egli o ella avessero strette. Con sua gran sorpresa, ognuno ha dato una risposta diversa. Quante mani ha stretto Franc ?
<BR></font>

[info]

Bellissima la sol di rojelio. Posto cmq, la mia, euclidea.
<BR><font color=white>
<BR>Chiamo AB la corda. A\' e B\' le proiezione di A e B sul diametro. C il punto medio e C\' la sua proiezione sul diametro.
<BR>Ora AC:CB=A\'C:C\'B per talete. Quindi CC\' è l\'asse di A\'B\' e A\'BC è un triangolo isoscele.
<BR>Notiamo che AA\'CO è circoscrivibile, esattamente come BB\'CO.
<BR>Quindi ACO=AA\'C e COB=CBB\', dato che insistono sulle stesse corde
<BR>Ma è anche AA\'C=A\'CC\' per talete e similmente C\'CB\'=CB\'B.
<BR>Detto questo, sommando, si trova facilmente che A\'CB\'=AC\'B. Quindi tutti i triangoli possiedono come angolo al vertice AOB (costante, determinato dalla corda AB) e sono simili....
<BR>
<BR></font>
<BR>
<BR>Ciao
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-01-2004 22:04 ]

[info]

ehm...ho fatto qualche errore con il messaggio...perchè?
<BR>

[info]

ho capito...

[8_CASKA_6]

<font color=red>SOL. al PROBLEMA 2
<BR></font>
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>mh...veramente non me la kavo in dimostrazioni e kose simili...
<BR>Cmq la risposta dovrebbe essere 3.
<BR>Infatti tutte le 7 persone a cui Anti ha fatto la domanda hanno dato risposte diverse e visto ke ognuno poteva stringere la mano al massimo a 6 persone le risposte devono essere state x forza
<BR>0 1 2 3 4 5 6
<BR>dato ke per ogni stretta di mano c sono 2 persone,la somma delle strette di mano deve essere pari xciò anti può aver stretto la mano a1,3o5 persone.
<BR>
<BR>Poi provando a fare lo schema ho visto ke ogni coppia deve stringere la mano a 6 persone in totale,xciò le coppie sono
<BR>0_6; 1_5; 2_4; 3_3
<BR>
<BR>A questo punto Franc e Anti non possono ke essere l\'ultima coppia!!!
<BR>
<BR>Scusate la mia grezzuria ma nn sono esperta in campo \"Dimostrazioni\"!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR></font>
<BR>

[dieciottantunesimi]

Bona.
<BR>
<BR><font color=red> PROBLEMA 3: </font>
<BR>
<BR><font color=blue>
<BR>Dati a e b interi positivi senza fattori comuni, dimostrare che
<BR>[[a/b]] + [[2a/b]] + [[3a/b]] + ... + [[(b-1)a/b]] = (a-1)(b-1)/2.
<BR>Con la notazione [[ ]] s\'intende per ogni x in R, il più grande intero minore o uguale a x.
<BR></font>

[mola6]

ops..scusate...mia sorella piccola stava spatacando col computer... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: mola6 il 16-01-2004 17:24 ]

[germania2002]

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