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publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Volevo riproporre un bel problema esposto da kayo un po\' tempo fa, anche se in termini leggermente diversi: determinare il carattere del limite x^(x^(x^(...))...) al variare di x quando il numero di x tende a infinito, per quali valori di x converge e per quali diverge?
<BR>
<BR>Suggerimento: una riscrittura della cosa utilizzando la ricorsione non guasta...
<BR>
<BR>Un\'altra cosa... arriveranno di sicuro molte soluzioni incomplete.... un minimo di rigore please!! E ricordatevi che il saper determinare il valore di un limite non implica che questo esista...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 13-01-2004 18:41 ]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-13 18:39, publiosulpicio wrote:
<BR>Un\'altra cosa... arriveranno di sicuro molte soluzioni incomplete.... un minimo di rigore please!! E ricordatevi che il saper determinare il valore di un limite non implica che questo esista...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Che bello! A quanto pare, già faccio proseliti!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Non esageriamo... non pretendo una dimostrazione rigorosa come le tue... (non che sia una pecca, anzi), il fatto è che con le successioni ricorsive è molto comodo usare il teorema per il calcolo del limite dimenticandosi che questo vale solo nel caso si sia precedentemente dimostrata l\'esistenza del limite, e questo è un errore che viene commesso spesso, si è già visto qui nel forum, per questo ho messo in guardia.

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

siccome è un\'esponenziale(anche se un po\'particolare), posso limitare lo studio alle x positive?
<BR>

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

direi!

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Dai... su che è un bel problema!!!

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

scusa ma forse non riesco a capire il testo quell è x^infinite volte se stesso?
<BR>infinito dei naturali o del continuo? ammesso che ciò abbia un senso e ne dubito....

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Calcolare al variare di x nei reali positivi lim per n-->+inf di x^(x^x^(...)...) dove nell\'espressione compaiono n x

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

ora inizio a capire meglio ma come facciamo a calcolare il limite per n---> + inf se nel limite c\'è anche un altra variabile indipendente (la x)?

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Ma infatti x non è un\'altra variabile ma un parametro.. se ti dico calcolare come limite x^3-3a per x che tende a qualcosa non hai nessun problema

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

intuitivamente e basta perchè oltre a questo non riesco ad andare con le mie conoscenze:
<BR>
<BR>se x<1 allora il limite viene 0
<BR>se x=1 allora il limite viene 1
<BR>se x>1 allora il limite viene +inf
<BR>
<BR>ovviamente ammesso che i limiti suddetti esistano e questo non è affatto scontato ma non ho la minima idea di come dimostrare la loro esistenza o non esistenza

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

mmm...per x<1 non direi

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

anzi, per x<1 il limite deve soddisfare la seguente equazione:
<BR>x<sup>L</sup>=L e sinceramente questa equazione non riesco a risolverla se non graficamente che mi dà un risultato compreso tra 0 e 1 ESCLUSI.

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Vedo che la cosa inizia a stuzzicare... bhè vi dico per l\'intervallo di convergenza è [e^(-e),e^(1/e)]... vediamo se questo stimola qualcuno a determinarlo...

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Posto ricorsivamente, per ogni n intero positivo e per ogni x€R<sup>+</sup>: f<sub>n+1</sub>(x) := x^f<sub>n</sub>(x), si tratta di determinare il sottoinsieme X massimale dei reali positivi tal che, per ogni x€X, esista finito il lim<sub>n-->+inf</sub> f<sub>n</sub>(x), ovvero (come anche si usa dire) stabilire l\'<!-- BBCode Start --><I>insieme di convergenza puntuale</I><!-- BBCode End --> della successione di funzioni {f<sub>n</sub>(-)} così costruita. Premesso che X è un insieme non vuoto, dacché chiaramente 1€X, si vogliono dedurre qui di seguito delle condizioni necessarie che definiscano un qualche boundary sulla libera variabilità del parametro x€R<sup>+</sup>. Ora, osserviamo innanzitutto che, per la continuità della funzione esponenziale e in base alla natura stessa dell\'insieme X:
<BR>
<BR>x€X <==> esiste finito lim<sub>n-->+inf</sub> f<sub>n+1</sub>(x) := x^[lim<sub>n-->+inf</sub> f<sub>n</sub>(x)]
<BR>
<BR>da cui, posto di assumere, per ogni x€X: L(x) := lim<sub>n-->+inf</sub> f<sub>n</sub>(x), ancor fa seguito che, quando esiste finito, il limite L(x) della successione {f<sub>n</sub>(-)}, per x€X, è tale da soddisfare (come del resto già osservato da Biagio) l\'equazione trascendente: L(x) = x^L(x). D\'altro canto, considerando che ciascun termine della successione {f<sub>n</sub>(-)} è una funzione continua nel suo proprio dominio e osservando inoltre che: f<sub>n</sub>(x) > 0, per ogni x€R<sup>+</sup>, è facile stabilire (stante il teorema di permanenza dei segni) che, per ogni x€X: L(x) ≥ 0, o meglio: L(x) > 0, dacché, per L(x) = 0, l\'equazione: L(x) = x^L(x) non risulta evidentemente soddisfatta.
<BR>
<BR>In altri termini, interpretando il risultato ottenuto, si può concludere che una <!-- BBCode Start --><B>condizione necessaria</B><!-- BBCode End --> (ma non pure <!-- BBCode Start --><I>aprioristicamente</I><!-- BBCode End --> sufficiente) a garantire l\'esistenza del limite proposto da Publio consiste nell\'imporre che x sia un numero reale positivo tale che l\'equazione a punto fisso: y = x^y ammetta <!-- BBCode Start --><I>almeno</I><!-- BBCode End --> una soluzione per y€R<sup>+</sup>. Potendo suppore x ! = 1, procediamo così distinguendo fra le <!-- BBCode Start --><I>due uniche alternative ammissibili</I><!-- BBCode End -->:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>i) x > 1</B><!-- BBCode End -->: in tal caso, la condizione indicata è equivalente ad esigere che il grafico della funzione g(-): R<sup>+</sup> --> R: y --> x<sup>y</sup> intersechi almeno in un punto la semiretta cartesiana h(-): R<sup>+</sup> --> R: y --> y; il che si traduce, per considerazioni legate alla convessità dell\'epigrafico della g(-), nella determinazione di un y<sub>0</sub>€R<sup>+</sup> tale che:
<BR>
<BR>(1).... g(y<sub>0</sub>) = h(y<sub>0</sub>) <==> y<sub>0</sub> = x^y<sub>0</sub>
<BR>(2)... g\'(y<sub>0</sub>) ≤ h\'(y<sub>0</sub>) <==> 1 = ln(x)*x^y<sub>0</sub>
<BR>
<BR>Dalla (2), segue immediatamente dover essere: y<sub>0</sub> = log<sub>x</sub>[log<sub>x</sub>(e)]; donde, per sostituzione nella (1), si trova ancora (essendo x > 1, per ipotesi):
<BR>
<BR>log<sub>x</sub>[log<sub>x</sub>(e)] ≤ log<sub>x</sub>(e) ==> 1 < x ≤ e<sup>1/e</sup>.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>ii) 0 < x < 1</B><!-- BBCode End -->: ...OK, magari continuo dopo cena, sempre ammesso che non mi scazzi! O magari concludo un\'altra volta, posto che me ne ricordi!!! Oppure si potrebbe anche auspicare che qualche volontereso, a questo punto della storia, si pigli la briga di completare il quadro risolutivo in vece mia... bah! Sia come sia, buona pappa a tutti... PORCELLI!!!
<BR>
<BR>P.S.: che qualcuno può rendermi il gradito servigio di portare i miei omaggi alla Lucrezia Borgia (leggi: \"b apostrofo... ghghghgh\") del canale #Olimpiadi? Graaaaaazie... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 20-02-2004 20:45 ]
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