1. PATTERN

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

SOL.6
 
 
 Se P(0)=0 e P(x^2 + 1)=P^2(x) + 1
 allora P(1)=1 P(2)=2, P(5)=5, P(26)=26
 In definitiva se P(a)=a per qualche valore di a allora P(a^2 + 1)= a^2 + 1, è evidente che allora per un numero infinito di x P(x)=x quindi l\'unico polinomio che soddisfa questa condizione è proprio P(x)=x

dieciottantunesimi · Messaggio da **dieciottantunesimi** » 01 gen 1970, 01:33

Codesto l\'ho inventato io. Non mi picchiate.
 
 PROBLEMA 7:.
 
 
 Componendo il numero di telefono di un mio amico della Papuasia ho sbagliato a digitare la 5°cifra e tuttavia il mio telefono (dotato di un software da me progettato) riesce ad individuare quale delle 10 cifre ho sbagliato e qual\'è la cifra esatta così da far squillare correttamente il telefono del mio amico.
 Sapendo che il numero che ho digitato è 73 242 018 77 qual\'è la cifra corretta?
 [addsig]

dieciottantunesimi · Messaggio da **dieciottantunesimi** » 01 gen 1970, 01:33

HINT 1 (prob. 7): 
 
 Per trovare un errore in un messaggio costituito da una sequenza di cifre sono richieste minimo due cifre che vengono aggiunte alla fine della sequenza. Una determina l\'entità dell\'errore della singola cifra sbagliata e l\'altro ne localizza la posizione.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Non ho ancora letto la soluzione di Edony al problema 6, ma a giudicare dalla lunghezza del suo post, dev\'essere per forza un colpo di genio!!! Di conseguenza..., sarà del tutto differente da quella che di seguito vi propongo, la quale utilizza d\'altro canto qualche piccola nozioncina di Analisi... son certo gradirete!!!
 
 Soluz. 6 
 Sia detto g il grado del polinomio P(-). Per assurdo, ammettiamo g > 1. In tal caso, può mostrarsi esistere un r > 0 tal che:
 
 per ogni x€C, con | x | > r: | P(x) | > | x | ==> P(x) != x ............(6.1)
 
 D\'altro canto, denotata con {zn}n ≥ 0 la successione a valori reali definitiva assumendo ricorsivamente z0 := 0 e zn+1 := zn2+1, per ogni n€N, è facile verificare per induzione che ciascun termine di questa medesima successione rappresenta in C un punto fisso del polinomio P(-). La qual condizione è tuttavia palesemente assurda! Difatti, poiché zn --> +inf per n --> +inf, esiste (secondo definizione) un k€N tal che, per ogni n > k: zn > r. Avremmo pertanto determinato un x0€C, con x0 := zk+1, tale che: | x0 | > r e P(x0) = x0, di contro alla (6.1)! L\'assurdo, nato dall\'aver supposto g > 1, induce conversamente a concludere (per contraddizione) che dev\'essere, per ogni x€C: P(x) = ax + b, con a,b€C . E poiché, del resto: P(0) = 0 e P(1) = P(02 + 1) = [P(0)]2 + 1 = 02 + 1 = 1, ne fa seguito che: b = 0 ed a = 1, e quindi che il polinomio P(x) = x, con x€C, è l\'unica eventuale soluzione del problema qui preso in esame. Una verifica diretta è sufficiente a questo punto per dimostrarne l\'effettività. Francy, TI AMO!!!
 
 ...IMO-style vs Euler_25-style... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 17-01-2004 15:56 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Ouch!!! Edony ed io abbiamo avuto la stessa idea!!! E che cacchio!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 Poco male... ne approfitto per ricordare a tutti che amo disperatamente la Francy!!! Se qualche anima pia mi volesse aiutare... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

Up![addsig]

khristian · Messaggio da **khristian** » 01 gen 1970, 01:33

UNA POSSIBILE SOL. 5
 
 
 
 La funzione che risolve il problema e\' la funzione che a due numeri interi associa il loro massimo comune divisore, infatti:
 
 MCD(x,x) = x;
 MCD(x,y) = MCD(y,x)
 
 MCD(x,y) = MCD(x, x+y)
 
 quest\'ultima e\' la chiave della dimostrazione informatica del perche\' sia possibile giungere in un numero finito di passi al MCD (per dire la verita\' era nella forma MCD(x,y) = MCD(x, x-y)).
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: khristian il 03-02-2004 13:47 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: khristian il 06-02-2004 16:57 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Khristian, ti chiedo scusa... non vedo in che modo le tue argomentazioni sul merito della funzionale proposta da 10/81 possano escludere l\'esistenza di altre soluzione a parte che la funzione D(-,-): N02 --> N che ad ogni coppia di interi positivi associa per immagine il loro massimo comun divisore. Per quel che mi pare di capire..., tu ti limiti a verificare che l\'anzidetta funzione risolve effettivamente il problema, poiché soddisfa tutte le condizioni imposte dalla traccia, senza tuttavia ricercare delle condizioni necessarie intese a dimostrarne l\'unicità! E non aggiungo altro, se non che aspetterò fremente ed ansimante una tua replica... aaaaaaah! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

khristian · Messaggio da **khristian** » 01 gen 1970, 01:33

Ultimamente il tempo che dedico a questo hobby e\' piuttosto basso, quindi mi limito a dare una \"finta soluzione\" che e\' quella che mi sovviene in appena 10-15 minuti di riflessione.
 
 Per i casi piu\' complessi investo molto piu\' tempo.
 
 K.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

No, ti prego, Khristian! Cos\'è? Hai deciso di rubarmi il brevetto? Guarda che ti cito in tribunale, sai? Se vuoi fare il fanfarone, mettiti in fila, cacchio! Porca paletta, ci stavo prima io! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">