OliForum Matematico

Provate questo:
<BR>
<BR>lim(n->+inf)(n*sen(2*Pi*e*n!))
<BR>
<BR>Buon divertimento
<BR>
<BR>Ciao

up!!

Mi piace molto... vedrò di pensarci un po\' su! Ciao...

Ciao Andrea ... me l\'ha già proposto un mio amico che fa ing a Trento , effettivamente è molto carino ..... dovrebbe essere 2Pi se nn mi sbaglio...
<BR>
<BR>wl

Sì è 2Pi ma il ragionamento per arrivarci?

\"e\" è la solita base dei logaritmi naturali, vero?
<BR>magari la formula di Eulero per sen(x) può aiutare...

perchè a me viene 0? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>sen(2*Pi*e*n!)=(e^2*Pi*e*n!*i - e^-2*Pi*e*n!*i)/2i=[(-1)^2*e*n! - (-1)^2*e*n!]/2i=0
<BR>(e^Pi*i=-1)
<BR>
<BR>
<BR>quindi ogni termine è zero...

credo ti sia dimenticato che il seno viene moltiplicato per n

n*0=0
<BR>
<BR>comunque qualcosa è sicuramente sbagliato nel mio ragionamento, altrimenti ad esempio anche sen(2/3*pi) sarebbe zero, il che invece non è<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 04-01-2004 19:37 ]

a prima vista, non esiste. magari studiandolo meglio...

a me vien da dire che quel seno sicuramente non va a zero... o meglio, è sicuramente DIVERSO da zero, poi può anche tendere a zero.
<BR>
<BR>per il resto boh -.- non so da che parte cominciare

E allora... eccoci a noi! Per ogni n€N, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin relativo al punto x₀ = 1 della funzione f(-): R --> R: x --> e^x, troncato all\'ordine n-esimo con il resto in forma di Lagrange, si trova che:
<BR>
<BR>e = [sum_{k = 0, 1, ... n} 1/(k!)] + (e^θ_n)/(n+1)!
<BR>
<BR>ove θ_n --> 0 per n --> + inf. Ne seguita che, per ogni n€N:
<BR>
<BR>2Pi*e*n! = 2Pi * (n!) * {[sum_{k = 0, 1, ... n} 1/(k!)] + (e^θ_n)/(n+1)!} =
<BR>
<BR>= 2Pi * {[sum_{k = 0, 1, ... n} (n!)/(k!)] + (e^θ_n)/(n+1)}
<BR>
<BR>E poiché (n!)/(k!) è un intero, per qualsiasi k = 0, 1, ..., n, tanto è sufficiente per concludere che, comunque fissato un n€N:
<BR>
<BR>sin(2Pi*e*n!) = sin(2Pi * {[sum_{k = 0, 1, ... n} (n!)/(k!)] + (e^θ_n)/(n+1)}) =
<BR>
<BR>= sin(2Pi * [(e^θ_n)/(n+1)])
<BR>
<BR>ove (come già detto) θ_n --> 0 per n --> + inf. Se ne conclude evidentemente che:
<BR>
<BR>lim_n-->+inf {n*sin(2Pi*e*n!) = lim_n-->+inf n*sin(2Pi*[(e^θ_n)/(n+1)])} =
<BR>
<BR>=lim_n-->+inf{n*[(2Pi*e^θ_n)/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*e^θ_n)]*sin[2Pi*(e^θ_n)/(n+1)]}=
<BR>
<BR>=2Pi*lim_n-->+inf{e^θ_n*[n/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*e^θ_n)]*sin[2Pi*(e^θ_n)/(n+1)]} ....(#)
<BR>
<BR>D\'altro canto, è pure evidente che:
<BR>
<BR>lim_n-->+inf [n/(n+1)] = 1;
<BR>
<BR>lim_n-->+inf {[(n+1)/(2Pi*e^θ_n)]*sin[2Pi*(e^θ_n)/(n+1)]} = 1
<BR>(basta ricordare che: x*sin(1/x) --> 1 per x --> inf)
<BR>
<BR>lim_n-->+inf e^θ_n = e⁰ = 1
<BR>(è stato precisato infatti che θ_n --> 0 per n --> +inf)
<BR>
<BR>Dunque, applicando il teorema del prodotto (nell\'algebra dei limiti), come lecito per via delle condizioni espresse dalle relazioni appena indicate, a partire dalla (#), si deduce infine che:
<BR>
<BR>lim_n-->+inf {n*sin(2Pi*e*n!) = 2Pi*(lim_n-->+inf e^θ_n) * (lim_n-->+inf [n/(n+1)]) *
<BR>
<BR>* (lim_n-->+inf {[(n+1)/(2Pi*e^θ_n)]*sin[2Pi*(e^θ_n)/(n+1)]}) = 2Pi*1*1*1 = 2Pi
<BR>
<BR>Fine... ciaaaoooooooo...
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
<BR>
<BR>P.S.: in verità, sento di esser stato un tantino <!-- BBCode Start --><I>troppo conciso</I><!-- BBCode End --> nelle mie argomentazioni; per cui, qualora vi fossero degli aspetti poco chiari nella soluzione da me proposta, non esitate a chiedere... ché certamente vi sarà detto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-01-2004 19:25 ]

Talpuz, è probabile che tu abbia tentato, inavvertitamente, di estendere le proprietà dell\'esponenziale reale al campo complesso.
<BR>Concorderai infatti che, in generale, per z, w € C:
<BR>
<BR>e^(z*w) != (e^z)^w.
<BR>
<BR>Per la dimostrazione... lascio a voi il piacere di ragionarci un po\' su.
<BR>Io intanto posso dirvi che utilizzando un software di calcolo appropriato... è facile constatare che per valori di w razionali, reali o complessi, purchè non interi, la proprietà adottata da Talpuz non risulta verificata e ciò basta a sconsigliarne l\'utilizzo.

Sottoscrivo pienamente (o quasi...) l\'intervento di Anteo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

@anteo: grazie per la precisazione, l\'avevo intuito che era lì la falla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>@euler: non è possibile arrivarci senza sbudellamenti in serie (-jack202 copyright-) e resti di lagrange??