pillole di teoria dei numeri

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

Moderatore: tutor

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

i termini della prima sommatoria sono il numero dei divisori di (un divisore al cubo) o (il numero di divisori di un divisore) al cubo?
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4790
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Non e\' proprio in tema con gli altri problemini, ma e\' pur sempre di teoria dei numeri:
<BR>
<BR>dimostrate che non esistono quattro quadrati (distinti) in progressione aritmetica.
<BR>

Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1052
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

@talpuz
<BR>
<BR>i termini della prima sommatoria (il numero di divisori di un divisore) al cubo

publiosulpicio
Messaggi: 774
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

ok.. non uccidetemi... un piccolo errore di stampa... il problema è sum phi(i)/(2^i-1)
<BR>
<BR>so che molti desidereranno la mia morte per questo...

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>
<BR>per farti perdonare potresti fare questo intanto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>--------
<BR>
<BR>dimostrare che le funzioni σ(n) e d(n) sono moltiplicative
<BR>[se MCD(a,b)=1 ==> f(ab)=f(a)*f(b)]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

Avatar utente
gip
Messaggi: 86
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa, Scuola Superiore Sant'Anna
Contatta:

Messaggio da gip » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>dimostrare che le funzioni σ(n) e d(n) sono moltiplicative
<BR>[se MCD(a,b)=1 ==> f(ab)=f(a)*f(b)]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per d(n):
<BR>
<BR>per ogni x=p_a^a*p_b^b*...*p_n^n si ha che d(x)=(a+1)*(b+1)*...*(n+1), in quanto, per ottenere un divisore di x, si può scegliere per ogni fattore primo un esponente tra 0 (compreso) e l\'esponente che quel fattore primo ha in x.
<BR>Prendendo x, y tali che (x,y)=1 si ha x=p_a^a*p_b^b*...*p_n^n e y=p_aa^aa*p_bb^bb*...*p_nn^nn, da cui:
<BR>d(x)=(a+1)*(b+1)*...*(n+1), d(y)=(aa+1)*(bb+1)*...*(nn+1) => d(x)*d(y)= (a+1)*(b+1)*...*(n+1)*(aa+1)*(bb+1)*...*(nn+1); mentre x*y=p_a^a*p_b^b*...*p_n^n*p_aa^aa*p_bb^bb*...*p_nn^nn (poichè non vi sono fattori primi comuni ad a e b), da cui d(x*y)=(a+1)*(b+1)*...*(n+1)*(aa+1)*(bb+1)*...*(nn+1).
<BR>
<BR>Ciao

Avatar utente
talpuz
Moderatore
Messaggi: 873
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa

Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-04 18:49, andrea84 wrote:
<BR>
<BR>φ(d)*φ(d^2a1b1)=d*φ(d*a1)*φ(d*b1)
<BR>da cui sfruttanfo la moltiplicatività
<BR>φ(d)*φ(d^2)*φ(a1b1)=d*(φ(d))^2*φ(a1)*φ(b1)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>grazie per aver riesumato il thread, visto che ci sono rimaste delle questioni inconcluse...
<BR>
<BR>però nel passaggio sopra c\'è un baco... chi ti dice che MCD(d,a<sub>1</sub>)=(d,b<sub>1</sub>)=1 (cosa necessaria per la moltiplicatività)??
<BR>
<BR>ad esempio se a=18 b=6, a=3*6 e b=1*6 (6 è l\'MCD), e quindi MCD(3,1)=1 (sono i tuoi a<sub>1</sub> e b<sub>1</sub>) ma MCD(3,6)=/=1! (che sarebbe MCD(a<sub>1</sub>,d))
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Azz... hai pienamente ragione Talpuz! (l\'ho fatto troppo distrattamente)
<BR>
<BR>Vediamo di rimediare (non posto una vera e propria soluzione perchè è pesantissima da scrivere, ma l\'idea dovrebbe essere quella giusta).
<BR>
<BR>a=p_1^e1...p_d^ed*t_1^m1*....*t_n^mn
<BR>b=p_1^g1...p_d^gd*q_1^h1*....*q_f^hf
<BR>
<BR>con i t diversi da ogni q e viceversa.
<BR>
<BR>d=p_1^min(e1,g1)*...*p_d^min(ed,gd)
<BR>
<BR>Consideriamo dunque φ(ab)/(φ(a)*φ(b))=p_1*...*p_d/((p_1-1)*...*(p_d-1)) dopo aver semplificato il semplificabile.
<BR>Consideriamo ora d/φ(d) =prod(i=1..d) p_i^min(e_i,q_i)/prod(i=1..d)p_i^(min(e_i,q_i)-1)*(p_i-1) da cui semplificando otteniamo :
<BR>p_1*...*p_d/((p_1-1)*...*(p_d-1)) che è esattamente uguale al membro di sinistra.
<BR>
<BR>Scusate la notazione e gli eventuali strafalcioni
<BR>
<BR>Ciao
Andrea 84 alias Brend

Avatar utente
gip
Messaggi: 86
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pisa, Scuola Superiore Sant'Anna
Contatta:

Messaggio da gip » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-04 19:18, talpuz wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-04 18:49, andrea84 wrote:
<BR>
<BR>?(d)*?(d^2a1b1)=d*?(d*a1)*?(d*b1)
<BR>da cui sfruttanfo la moltiplicatività
<BR>?(d)*?(d^2)*?(a1b1)=d*(?(d))^2*?(a1)*?(b1)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>grazie per aver riesumato il thread, visto che ci sono rimaste delle questioni inconcluse...
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Perchè ogni tanto i post scompaiono?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> Io non vedo mica il primo messaggio di andrea84... (quindi, tanto per sapere, quale quesito stavi risolvendo? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )

andrea84
Messaggi: 203
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trento

Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Il testo è dimostrare che
<BR>phi(d)*phi(ab)=d*phi(a)*phi(b)
<BR>con d=(a,b)
<BR>
<BR>
<BR>ciao
Andrea 84 alias Brend

Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1052
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Non è + semplice così?
<BR>
<BR>Lemma 1: f(n)=phi(n)/n=prod[p|n](1-1/p)
<BR>Dim: è interpretato come probabilità che nn sia multiplo dei primi che dividono n
<BR>
<BR>phi(d)*phi(ab)=d*phi(a)*phi(b)
<BR>
<BR>Ora dividiamo tutto per a*b*d e otteniamo:
<BR>f(d)*f(ab)=f(a)*f(b)
<BR>
<BR>che è vero xkè i primi contenuti sia in a sia in b sono contenuti sia in ab sia in d e i primi contenuti solo in a o solo in b sono contenuti solo in ab.

Avatar utente
Marco
Site Admin
Messaggi: 1331
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: IMO '93

Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao. Recupero un vecchio messaggio con un problema che è rimasto lì appeso senza riscuotere troppa audience.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-06 21:15, Simo_the_wolf wrote:
<BR>questo è un pò + difficile:
<BR>
<BR>d(n)=numero di divisori di n
<BR>d_i = divisore di n (i da 1 a d(n))
<BR>
<BR>sum (d(d_i))^3 = (sum d(d_i) )^2
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>
<BR>Spero di aver scritto bene
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 08-01-2004 22:10 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Scketch.
<BR>
<BR>Beh, questo sfrutta ancora le proprietà delle funzioni moltiplicative. Entrambi i membri sono funzioni moltiplicative (prodotto e convoluzione di funzioni moltiplicative sono funzioni moltiplicative). A questo punto basta verificare l\'identità per le potenze dei primi. L\'equazione si riduce alla formula dei numeri triangolari da una parte e dei primi cubi dall\'altra.
<BR>
<BR>Si lasciano i dettagli della dimostrazione al lettore [ih, ih, ih...].
<BR>
<BR>Alla prossima.
<BR>
<BR>M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Bloccato