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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

eccovi alcuni esercizi di diversi argomenti:
<BR>
<BR>1)trovare le sol. intere dell\'equazione
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>+z<sup>3</sup>=(x+y+z)<sup>3</sup>
<BR>
<BR>2)dimostrare che per ogni x reale e per qualsuiasi scelta di + o -
<BR>x<sup>2n</sup> +- x<sup>2n-1</sup> + x<sup>2n-2</sup> +-.......+-x<sup>3</sup>+ x<sup>2</sup> +- x + 1>1/2
<BR>
<BR>3)classico(ma molto bello): dimostrare che in un qualsiasi insieme di n numeri interi esiste un sottoinsieme la cui somma dei suoi elementi sia divisibile per n.
<BR>
<BR>4)dimostrare che l\'eq. x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>=z<sup>n</sup> ammette soluzioni per ogni scelta di n
<BR>con x,y,z,n naturali.
<BR>
<BR>buon lavoro.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 12:02 ]

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Biagio!
<BR>
<BR>Faccio il primo, sperando di non dire troppe c*****e.
<BR>Dunque.. riscriviamo l\'equazione di partenza come:
<BR>
<BR>x^3+y^3=(x+y+z)^3-z^3
<BR>
<BR>scomponendo la somma e la differenza di cubi otteniamo:
<BR>
<BR>(x+y)(z^2+xy+xz+yz)=0
<BR>
<BR>o anche:
<BR>(x+y)(x+z)(y+z)=0
<BR>quindi le soluzioni sono:
<BR>
<BR>1°
<BR>x=-y e z qualunque
<BR>
<BR>2°
<BR>x=-z e y qualunque
<BR>
<BR>3°
<BR>
<BR>y=-z e x qualunque
<BR>
<BR>giusto?
<BR>
<BR>Ciao alla prossima
<BR>
<BR>Andrea 84 alias Brend
Andrea 84 alias Brend

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Provo anche il secondo..
<BR>
<BR>Consideriamo inizialmente il caso x>=0
<BR>dunque si vede subito che x^2n +- x^(2n-1) + x^(2n-2) +-.......+-x^3+ x^2 +- x + 1>x^2n-x^(2n-1)+x^(2n-2)-...-x^3+x^2-x+1 (1)
<BR>infatti tutti i termini quadratici si elidono e con essi tutti i termini negativi della parte sinistra della disuguaglianza, quindi quello che rimane è una somma di termini tutti positivi e quindi anche la loro somma lo è.
<BR>quindi ci basta dimostrare che:
<BR>x^2n-x^(2n-1)+x^(2n-2)-...-x^3+x^2-x>-1/2 ora raccogliendo (x-1) e sommando la progressione geometrica di ragione x che salta fuori otteniamo che la disuguaglianza di partenza è analoga a :
<BR>(x-1)((x^(2n+1)-x)/x^2-1)>-1/2 da cui :
<BR>(x^(2n+1)-x)/(x+1)>-1/2
<BR>
<BR>cioè basta verificare che 2x^(2n+1)-x+1>0 per x>=0 (che è vero, perdonatemi la pigrizia, magari la dimostrazione la posta doma)
<BR>per x<0 la cosa è analoga questa volta a patto di considerare il polinomio :
<BR>x^2n+x^(2n-1)+x^(2n-2)+...+x^3+x^2+x+1 nel secondo membro della disuguaglianza (1)
<BR>
<BR>Può andare? ah perdonatemi il disordine e le eventuali fesserie, la scusante è l\'ora <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Ciao alla prossima
<BR>
<BR>Andrea 84 alias Brend
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Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

ok tutti e due <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>(almeno, io li ho fatti così...)

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

su, fate anche gli altri.
<BR>Ciao biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

oscar
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Messaggio da oscar » 01 gen 1970, 01:33

il quarto
<BR>se x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>=z<sup>n</sup> ammette soluzioni naturali
<BR>allora x<sup>2</sup>z<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>=z<sup>n+2</sup>,
<BR>come dire che anche x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=z<sup>n+2</sup> ammette almeno una soluzione
<BR>per n=1 e n=2 l´eq ammette soluzioni
<BR>quindi le ammette per ogni n
<BR>
<BR>per il terzo al momento non saprei
<BR>
<BR>giá che ci sono buon anno <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
il vaut mieux une tête bien faite qu'une tête bien pleine --Michel Eyquem de Montaigne--

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Messaggio da ma_go » 01 gen 1970, 01:33

bella. <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
<BR>
<BR>ps. quando ho voglia ti rispondo, oscar <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

lordgauss
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Messaggio da lordgauss » 01 gen 1970, 01:33

Mi associo ai complimenti fatti ad oscar, la sua dimostrazione è veramente brillante.
<BR>
<BR>Per quanto riguarda il problema rimanente, ecco la soluzione, tanto per non farlo cadere nel dimenticatoio.
<BR>
<BR>3)classico(ma molto bello): dimostrare che in un qualsiasi insieme di n numeri interi esiste un sottoinsieme la cui somma dei suoi elementi sia divisibile per n.
<BR>
<BR>Siano a1,a2,...,aN gli elementi dell\'insieme
<BR>Si considerino le somme SI definite come SI = a1+a2+...+aI
<BR>Tali somme sono n; in modulo n, o ne esiste una pari a 0, nel qual caso abbiamo trovato il sottoinsieme cercato, oppure esistono K,J (K>J) tali che SK == SJ (n). Allora SK-SJ = aK+a[K-1]+...+a[J+1] == 0 (n), ed anche in questo caso la tesi è dimostrata.

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psion_metacreativo
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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

non riesco a capire la dimostrazione di oscar c\'è qualcuno che la spiega in maniera più estesa e chiara?

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-31 16:54, oscar wrote:
<BR>il quarto
<BR>se x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>=z<sup>n</sup> ammette soluzioni naturali
<BR>allora x<sup>2</sup>z<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>z<sup>2</sup>=z<sup>n+2</sup>,
<BR>come dire che anche x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=z<sup>n+2</sup> ammette almeno una soluzione
<BR>per n=1 e n=2 l´eq ammette soluzioni
<BR>quindi le ammette per ogni n
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>direi che non c\'è spiegazione più immediata... supponendo che l\'eq ammetta soluzione per un certo n esistono due interi (xz) e (yz) per cui è verificata l\'equazione di esponente n+2
<BR>controlli che per n=1 ci siano soluzioni, e così vedi che per tutti gli n dispari hai soluzioni
<BR>idem per n=2 (pari)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 02-01-2004 18:47 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

visto che siamo in tema di numeri naturali, provate questa
<BR>
<BR>(n!)<sup>2</sup>>=n<sup>n</sup>
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

geniale la soluzione di oscar<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 02-01-2004 18:50 ]

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Per Talpuz:
<BR>
<BR>Procediamo per induzione su n:
<BR>
<BR>verifichiamo(per una questione che sarà chiara dopo) i casi n=1 e n=2, dove otteniamo, sostituendo:
<BR>
<BR>1=1
<BR>4=4
<BR>palesemente vere.
<BR>supponiamo quindi che la proposizione sia vera per un dato n>2 per cui
<BR>(n!)^2>=n^n
<BR>moltiplichiamo ambo i membri per (n+1)^2 e otteniamo:
<BR>((n+1)!)^2>=(n+1)^2 *n^n
<BR>dimostriamo quindi che vale:
<BR>(n+1)^2 *(n^n)>=(n+1)^(n+1) cioè:
<BR>
<BR>(1+1/n)^n<=(n+1)
<BR>per un noto limite abbiamo che
<BR>(1+1/n)^n<3 (1)
<BR>e poichè n>2 n+1>3 (2)
<BR>cioè mettendo insieme la (1) e la (2) :
<BR>(1+1/n)^n<3<(n+1) che è la tesi
<BR>e quindi:
<BR>((n+1)!)^2>=(n+1)^(n+1) che è effettivamente quello che volevamo provare per induzione.
<BR>
<BR>
<BR>Ciao
Andrea 84 alias Brend

andrea84
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Messaggio da andrea84 » 01 gen 1970, 01:33

Posso sapere se è corretta la mia soluzione? Talpuz<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 03-01-2004 15:39 ]
Andrea 84 alias Brend

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

beh, certo che è corretta! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>sarebbe bello trovare una dimostrazione che non utilizzi l\'induzione, comunque va + che bene anche la tua!!
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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